Limita cu radicali de ordin k

[Andrei Velicu]

Sa se calculeze \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[k]{n^k+an^{k-1}}+\sqrt[k]{n^k-an^{k-1}}-2n) \), unde \( k\in\mathbb{N}^{*},k\ge 2 \) si \( a\in \mathbb{R}_+^* \).

Dorin Arventiev, subiectul 3, OLM 2009 Constanta

[Marius Mainea]

Notand \( \frac{1}{n}=x_n \) reducem limita la calculul limitei

\( \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[k]{1+ax}+\sqrt[k]{1-ax}-2}{x^2} \)

care este egala cu \( \frac{a^2(1-k)}{k^2} \).