Integrala pozitiva dintr-o functie convexa

[Cezar Lupu]

Fie \( f \) o functie convexa si derivabila cu derivata a doua continua pe intervalul \( [0, 2\pi] \). Sa se arate ca

\( \int_0^{2\pi}f(x)\cos xdx\geq 0 \).


UIUC Math Contest 1997

[Marius Mainea]

Folosim schimbarea de variabila ,,centrare in mijlocul intervalului [a,b]''

\( \int_a^bf(x)dx=\int_0^{\frac{b-a}{2}}[f(\frac{a+b}{2}-x)+f(\frac{a+b}{2}+x)]dx \)

Astfel f fiind convexa f' este crescatoare si integrand prin parti,

\( \int_0^{2\pi}f(x)\cos xdx=f(x)\sin x|_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}f^{\prime}(x)\sin xdx= \)
\( -\int_0^{\pi}[f^{\prime}(\pi-x)\sin (\pi-x)+f^{\prime}(\pi+x)\sin (\pi+x)]dx= \)
\( \int_0^{\pi}\sin x[f^{\prime}(\pi+x)-f^{\prime}(\pi-x)]dx\ge0 \)

[aleph]

E suficient ca f să fie continuă şi convexă pe \( [0, 2\pi] \).

[Cezar Lupu]

E suficient ca f să fie continuă şi convexă pe \( [0, 2\pi] \).

Da, dar daca e sa fim rigurosi pana la capat, am putea zice \( f \) convexa pe \( [0, 2\pi ] \) si continua in \( 0 \) si \( 2\pi \).

[aleph]

E suficient ca f să fie continuă şi convexă pe \( [0, 2\pi] \).

Da, dar daca e sa fim rigurosi pana la capat, am putea zice \( f \) convexa pe \( [0, 2\pi ] \) si continua in \( 0 \) si \( 2\pi \).

Nu e vorba de rigoare; eventual de o mică redundanţă utilizată curent.
Pentru funcţii continue pe [a,b] şi derivabile pe (a,b) nu e la fel?

[Cezar Lupu]

Da, aveti dreptate. Termenul de "riguros" nu era tocmai potrivit, insa nu-mi venea altul in minte pe moment.