Limite de siruri cu primitive

[Marius Mainea]

Fie functia \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \), \( f(x)=\sin x^2 \).

a) Sa se arate ca f admite primitive marginite pe \( \mathbb{R} \).

b) Fie F o primitiva a lui f cu proprietatea ca F(0)=0. Definim sirul \( (a_n)_{n\ge 0} \) prin \( a_0\in(0,1) \) si \( a_{n+1}=a_n-F(a_n) \) , \( n\ge 0 \). Sa se calculeze \( \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}a_n. \)

F. Dumitrel, Concursul N.Coculescu, 2007