OLM Braila 14.02.2009

[Al3xx]

1. Fie triunghiul ABC. Paralela prin A la BC taie paralela prin B la AC în P şi paralela prin C la AB în M. Paralela prin B la AC taie pralela prin C la AB în N. Fie \( G_1 \), \( G_2 \), \( G_3 \) centrele de greutate ale triunghiurilor ACM, ABP, respectiv BCN. Să se arate că triunghiurile ABC, MNP si \( G_1G_2G_3 \) au acelaşi centru de greutate.

prof. Carmen şi Viorel Botea


2. Fie \( S=n+(n+2)+(n+4)+...+3n, n \in N \)-{0}.
a) Determinati valorile lui n stiind ca numarul S are 3 cifre.
b) Pentru \( n=2009 \) , aflati cate cifre are numarul de cifre ale lui \( S^{2009} \).

prof. Valentin Damian

3. Sa se arate ca \( (1+x^{2008})^{2009} \ge (1+x^{2009})^{2008} \) oricare ar fi \( x \in R. \)

prof. Dan Negulescu

4. Sa se determine \( m,n,p \in N \) cu \( n \not= 0 \) astfel incat:

\( \[ x+\frac{1}{n} \] + \[ x+\frac{m\sqrt{2}}{n} \] = [px] \), oricare ar fi \( x \in R \),

unde [x] reprezinta partea intreaga a numarului real x.

prof. Gabriel Daniilescu

[Marius Mainea]

Problema 3

1) Daca \( x\in [-1,1] \) atunci \( LHS=(1+|x|^{2008})^{2009}\ge (1+|x|^{2009})^{2009}\ge (1+|x|^{2009})^{2008}\ge RHS \)

2) daca \( x\notin[-1,1] \) atunci notam \( y=\frac{1}{x} \) si reducem la cazul precedent


Problema 2

Daca \( x=k\in\mathbb{Z} \) atunci \( 2k+\[\frac{m\sqrt{2}}{n}\]=pk \) pentru orice k natural de unde \( p=2 \)

deci \( \[x+\frac{1}{n}\]+\[\frac{m\sqrt{2}}{n}\]=\[x\]+\[x+\frac{1}{2}\] \) pentru orice x real

Rezulta \( m=0 \) si \( n=2 \)