Concurenta intr-un triunghi

[Claudiu Mindrila]

Fie \( H \) ortocentrul triunghiului ascutitunghic \( ABC \) iar \( A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime} \) picioarele inaltimilor. Se construiesc paralelogramele \( HB^{\prime}A^{\prime\prime}C^{\prime} \), \( HC^{\prime}B^{\prime\prime}A^{\prime} \), \( HA^{\prime}C^{\prime\prime}B^{\prime} \). Aratati ca \( AA^{\prime\prime},\ BB^{\prime\prime} \) si \( CC^{\prime\prime} \) sunt concurente.

Gh. Szollosy, R.M.T. 1/2009

[Virgil Nicula]

Indicatie. \( AA^{\prim\prim}\perp B^{\prim}C^{\prim}\ \Longrightarrow\ O\in AA^{\prim\prim} \)

[Virgil Nicula]

Comentariu. Cand intalniti o problema, fie ea si de geometrie, incercati sa o demonstrati folosind cu "zgarcenie" datele din ipoteza. In felul acesta s-ar putea sa nu va bizuiti in demonstratie pe anumite particularitati ale punctelor/liniilor din figura asociata. De fapt in cele din urma ati gasit si totodata ati demonstrat o extindere/generalizare a acesteia. Iata mai jos generalizarea problemei propuse in RMT.

Generalizare. Fie \( \triangle\ ABC \) si un punct \( P \) pentru care notam \( \left\|\ \begin{array}{c}
D\in AP\ \cap BC\\\\\\\\
E\in BP\ \cap\ CA\\\\\\\\
F\in CP\ \cap\ AB\end{array}\ \right\|\ . \) Se construiesc

paralelogramele \( PEXF \) , \( PFYD \) , \( PDZE\ . \) Aratati ca dreptele \( AX \) , \( BY \) si \( CZ \) sunt concurente.