Concursul Interjudetean Titu Buta (28 februarie 2009, Motru)

[baleanuAR]

problema1. Comparati numerele: \( a=2000^2^0^0^1 + 2001^2^0^0^0 \) si \( b=2000^2^0^0^0+2001^2^0^0^1 \).

problema2. Sa se afle cel mai mare nr nat de forma abc care verifica relatia 15a-11b+9c=0

problema3. Se considera mult. M={1,2,3,...,2010,2011}.
a) Comparati suma elementelor pare din multime cu suma elementelor impare.
b)Se poate elimina un element din multime ,astfel incat suma elementelor pare ramase sa fie egala cu suma elementelor impare ramase?

problema4. Fie A inclusa in N o multime care indeplineste simultan conditiile:
i)2 apartine lui A;
ii)Daca x apartine lui A atunci 3x+1 apartine lui A ;
iii)Daca 2x+3 apartine lui A,atunci x apartine lui A.
Aratati ca {32,67} apartin lui A.

Alte informatii la http://www.concursurigorj.ro/ .

[alex2008]

Problema 1 s-a mai postat aici

[alexandru_infomath]

Pentru problema 1) Se face cu ultima cifra nu?
a=2000^2001+2001^2000 <=> u(a)=u(0^2001)+u(1^2000) <=> u(a)=u(0^1)+u(1^0) <=> u(a)=0+1 <=> u(a)=1;
analog cu b si u(b)=2, u(a)=1 => b>a .
Pnetru problema 3
a) Se aplica formulele suma numerelor pare este n(n+1) si a celor impare este n^2.
Si obtinem 2010*2011 si 2011^2 => 2011^2>2010*2011 deci suma numerelor pare este mai mica ca suma numerelor impare.
b) Presupune ca extragem din multime elemntul c.
Avem 2 cazuri cand c este par si c-impar.
Daca c este impar atunci : suma numerelor 1+3+5+...+2011 are 499 termeni, si nu 500 cum era initial. Atunci 1+3+5+...+2011+c-c . Suma devnine : 2011^2-c . Ea trebuie sa fie egala cu 2010*2011 deci 2011^2-c=2010*2011 =>c=2011. dar daca extragem 2011 atunci sirul de numere impare se termina la 2009,deci suma lor va fi 2009^2 !=2010*2011 , deci nu-i bun. (1)
Daca c este par atunci suma devine 2+4+6+...+2010 cu 499 si nu 500 cum era initial. 2+4+6+..+2010+c-c. 2010*2011-c=2011^2011 => c=-2011 un termen care nu este in multime (2).
Din 1,2 => nu poate fi extras un numar astfel incat sumele sa devina egale.
Problema 3)
a)2 apartine lui A => 2*3+1=7 apartine lui A => 7*3+1=22 apartine lui A => 22*3+1=67 Apartine lui A.
b)Cum 67 apartine lui A (demonstart anterior ) => 2*x+3=67 Apartine lui => x=32 => 32 apartine lui A.
Sper...... ca nu am gresit la calcule

[alex2008]

la 1 rezolvare e gresita . De exemplu b poate fi 10000002 , iar a poate fi 10000011

[alexandru_infomath]

Pai atunci studiem semnul ecuatie b-a.
b-a= 2001^2001-2001^2000+2000^2000-2000^2001 <=>
b-a=2001-2000 <=> b-a=1 <=> b-a>0 => b>a
la 2.....nu prea am idei ?... n-ar fi trebuit sa mai fie o relatie
[later]
la Problema 2 cel mai mare numar e 691?