Subiectul IV OJM 2009

[DrAGos Calinescu]

Sa se determine functiile \( f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^* \) pentru care \( \frac{f(x+y)+f(x)}{2x+f(y)}=\frac{2y+f(x)}{f(x+y)+f(y)},\forall x,y\in\mathbb{N}^* \)

[Al3xx]

Inlocuind pe \( x \) cu \( y \) se obtine \( f(2y)=2y \) iar inlocuind pe \( y \) cu \( x \) se obtine \( f(2x)=2x \). Se demonstreaza prin inductie \( P(n):\ f(n)=n \).

[DrAGos Calinescu]

Cele doua relatii ale tale sunt echivalente.
Aceasta este prima etapa a problemei, se demonstreaza ca\( f(2x)=2x,\forall x\in\mathbb{N}^* \).
Apoi se inlocuie \( x=2k+1 \)si \( y=2k+3 \) si obtinem \( f(2k+3)=f(2k+1)+1 \).
Apoi se inlocuie \( x=1;y=2 \) obtinandu-se \( f(1)=1 \).
De aici inductiv \( f(2k+1)=2k+1\forall k\in\mathbb{N} \).
Deci \( +f(x)=x\forall x\in\mathbb{N}^* \).