A,B,C,D conciclice <=> conditie

[Radu Titiu]

Fie \( A,B,C,D \) patru puncte in plan. Demonstrati ca aceste puncte sunt conciclice daca si numai daca exista \( a,b,c,d \in \mathbb{R} \), nu toate nule, a.i.
\( aMA^2+bMB^2+cMC^2+dMD^2=0 \),
pentru orice punct \( M \) din plan.

[Beniamin Bogosel]

Frumoasa problema... Chiar mi-a placut... Desi nu e gata, si am trisat un pic cu Maple

In primul rand notam \( AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=e, BD=f \).
Notez atunci numerele din ipoteza cu \( x,y,z,t \).
Daca are loc conditia data pentru orice punct \( M \) din plan, atunci are loc si pentru \( A,B,C,D \).
Rezulta sistemul:
\( \left\{ \begin{array}{l} ya^2+zc^2+td^2=0 \\
xa^2+zc^2+td^2=0\\
xf^2+yb^2+tc^2=0\\
xd^2+ye^2+zc^2=0 \end{array}\right. \)
Pentru ca sistemul sa aiba o solutie nebanala trebuie ca determinantul matricii asociate sa fie 0, adica
\( \left| \begin{array} 0&a^2&f^2&d^2\\ a^2&0&b^2&e^2 \\ f^2& b^2&0&c^2 \\ d^2 & e^2 &c^2 &0 \end{array}\right| =\\ =a^4c^4-2a^2b^2c^2d^2-2a^2c^2e^2f^2+f^4c^4-2f^2e^2b^2d^2+d^4b^4=\\
=(ac-bd-fc)(ac-fe+bd)(ac+fe-bd)(ac+fe+bd)=0 \)
Din reciproca teoremei lui Ptolemeu, punctele se afla pe un cerc.

Reciproc, daca punctele sunt pe un cerc, determinantul este 0, deci sistemul are o solutie nebanala si putem gasi \( x,y,z,t \) nu toate nule astfel incat \( xMA^2+yMB^2+zMC^2+tMD^2=0, \ M \in \{A,B,C,D\} \).
Acum mai trebuie demonstrat ca in conditiile acestea relatia da 0 pentru toate punctele din plan. (ceea ce nu e prea sigur...)
(poate nu e abordarea prea buna pentru partea a 2-a. poate se pot gasi direct constantele cerute, si problema e gata)

Gata... am gasit. Din relatia lui Stewart avem:
\( MA^2\frac{OC}{AC}+MC^2\frac{OA}{AC}=OA\cdot OC+MO^2 \\
MB^2\frac{OD}{BD}+MD^2\frac{OB}{BD}=OB\cdot OD+MO^2
\) unde \( O \) este intersectia diagonalelor.

Scadem relatiile si obtinem 0 in membrul drept. Coeficientii din membrul stang sunt constanti, si ii vom lua ca si coeficientii nostri.

Asta a fost pentru \( ABCD \) inscriptibil. Pentru alta ordine, se definesc analog coeficientii.

[enescu]

Dar \( MA^2-MB^2=0 \)?

[Beniamin Bogosel]

Da. Cred ca ar trebui corectat enuntul si sa fie toate cele 4 numere nenule, pentru ca daca unul este 0 atunci punctul respectiv poate fi ales oriunde in plan, si se poate intampla ca punctele sa nu fie conciclice.

De asemenea (daca nu consideram dreptele ca si cercuri degenerate), probabil ca ar mai trebui o conditie ca punctele sa nu fie coliniare oricare trei.

[enescu]

Edit: am gresit.

[Beniamin Bogosel]

Nu, trebuie pusa conditia ca numerele \( a,b,c,d \) sa aiba acelasi semn, si sa fie, desigur, nenule.

Daca au acelasi semn, nu mai este posibila relatia pentru ca membrul stang ar fi sau strict pozitiv, sau strict negativ. In exemplul pentru patrulater inscriptibil erau 2 de un semn 2 de alt semn.