Problemele de la concursul mateforum

[Beniamin Bogosel]

Problema 1. a) Fie \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) o functie derivabila. Demonstrati ca daca \( f \) are derivata marginita, atunci \( f \) se poate scrie ca suma de doua funtii injective.
b) Daca in plus, functia \( f \) este si crescatoare, demonstrati ca \( f \) se poate scrie ca suma de doua functii bijective.

Problema 2. Se dau 25 de numere intregi. Sa se arate ca aceste numere pot fi aranjate intr-o matrice \( 5\times 5 \) cu determinantul divizibil cu 25.

Problema 3. Fie \( f \in \mathbb{Q}[X] \) un polinom de grad mai mare sau egal cu 2. Fie \( A=\{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} : f(x) \in \mathbb{Q}\} \). Demonstrati ca \( A \) este numarabila si ca aderenta lui \( A \) este \( \mathbb{R} \).

Problema 4. Daca \( f \in \mathbb{R}[X] \) sa se demonstreze ca:
a) Daca \( f(x)\geq 0 ,\ \forall x \in \mathbb{R} \) atunci \( \det f(A)\geq 0,\ \forall A \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}),\ \forall m \in \mathbb{N}^* \).
b) Daca exista \( m \) natural impar astfel incat \( \det f(A)\geq 0, \ \forall A \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}) \) atunci \( f(x)\geq 0,\ \forall x \in \mathbb{R} \).

Problema 5. Fie \( F \) o figura convexa plana marginita.
a) Demonstrati ca oricare ar fi \( d \) o dreapta in planul lui \( F \) exista o dreapta paralela cu \( d \) si care imparte figura \( F \) in doua regiunide arii egale.
b) Demonstrati ca exista doua drepte perpendiculare care impart figura \( F \) in patru regiuni de arii egale.

Problema 6. Fie \( f: (0,\infty) \to \mathbb {R} \) descrescatoare si pozitiva. Fie \( a_k \in [k,k+1], \ \forall k\geq 1 \), si
\( x_n=f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n)-\int_1^{n+1}f(t){\rm d}t,\ \forall n\geq 1 \).
Demonstrati ca sirul \( (x_n) \) este convergent.