Divizibilitate cu polinoame

[Adriany]

Cu cat trebuie sa fie egal n, pentru ca polinomul \( (X^2 + X + 1)^n - X \)sa fie divizibil cu polinomul \( (X^2 + 1) \) ?

[Adriana Nistor]

Vom nota cu \( P(X)=(X^2 +X +1)^n -X \) si cu \( Q(X)=X^2 +1 \). Din cate stiu, \( P(X) \) e divizibil cu \( Q(X) \) daca si numai daca radacinile lui Q sunt si radacini pentru P. Radacinile lui Q sunt \( -i \) si \( +i \). \( P(-i) = (-1-i+1)^n+i ;\ P(-i)=(-i)^n+i \) iar daca \( (-i)^n=-i \), atunci \( n \) e de forma \( 4k+1 \) pentru orice \( k \) numar intreg. \( P(i)=i^n-i \), deci \( i^n=i \). Si in acest caz n ia forma \( 4k+1 \). In concluzie n e orice numar intreg de forma \( 4k+1 \).
Sper ca e corect...