Matrice diagonala si multiplicitati
Matrice diagonala si multiplicitati
Fie \( A\in M_n(K) \), \( K \) corp comutativ. Stim ca \( A \) este diagonala si valorile sale proprii \( \lambda_1,\dots,\lambda_k \) au multiplicitatile (algebrice) \( d_1,\dots,d_k \). Fie \( V \) spatiul matricelor \( B\in M_n(K) \) cu proprietatea ca \( AB=BA \). Aratati ca dimensiunea lui \( V \) este \( d_1^2+\dots+d_k^2 \).
Printr-o matrice de permutare \( P \) putem obtine in \( PAP^{-1} \) valorile proprii aranjate pe diagonala in \( k \) blocuri. Atunci \( AB=BA\ <=>\ PBP^{-1} \) comuta cu \( PAP^{-1} \), ceea ce inseamna (prin simplu calcul) ca \( PBP^{-1} \) e formata din \( k \)blocuri patratice de dimensiuni \( d_1, d_2,...,d_k \) pe diagonala. Asadar \( B \), care are liniile si coloanele permutari ale lui \( PBP^{-1} \), are \( d_1^2+...+d_k^2 \) elemente oarecare iar restul sunt \( 0 \), deci dimensiunea subspatiului este \( d_1^2+...+d_k^2 \).
De fapt cred ca se poate generaliza la \( A \) o matrice diagonalizabila si demonstratia ar ramane la fel cu exceptia lui \( P \) care ar fi matricea de diagonalizare... Iar in particular, daca \( A \) ar avea \( n \) valori proprii distincte, atunci \( B \) comuta cu \( A\ <=>\ B \) e diagonalizabila cu aceeasi baza ca \( A \).
De fapt cred ca se poate generaliza la \( A \) o matrice diagonalizabila si demonstratia ar ramane la fel cu exceptia lui \( P \) care ar fi matricea de diagonalizare... Iar in particular, daca \( A \) ar avea \( n \) valori proprii distincte, atunci \( B \) comuta cu \( A\ <=>\ B \) e diagonalizabila cu aceeasi baza ca \( A \).