Patrat in triunghi

[SNT]

Sa se determine patratul de arie (latura) maxima cu toate varfurile in interiorul sau pe frontiera unui triunghi ABC (fixat).

[Virgil Nicula]

Raspuns. Patratul care are o latura inclusa in latura de lungime maxima a triunghiului dat si celelalte doua varfuri fiind situate pe cate una din celelalte laturi. De exemplu, daca \( a=\max \{a,b,c\} \), atunci lungimea \( l \) a laturii patratului cautat este data de relatia \( \frac {1}{l}=\frac {1}{a}+\frac {1}{h_a} \).

[SNT]

Configuratia este aceeasi, dar mie mi-a dat ca patratul este maximal atunci cand are o baza pe latura x a triunghiului ABC (a, b, sau c), care satisface proprietatea: patratul lung. laturii x este cel mai apropiat de 2S, si nu pentru cea mai mare latura a triunghiului.
Un exemplu ar fi un triunghi drept. ABC in A; Atunci, patratul de lat. max ar avea x=bc/(b+c), atunci cand are o latura pe o cateta (si implicit si pe cealalta), si nu pe ipotenuza. Se vede foarte clar pe un triunghi dreptunghic isoscel.

P.S.: Sint curios cum ati ajuns la rezultat, aveti cumva si o demonstratie?

[Beniamin Bogosel]

E clasic. Se construieste un patrat pe latura \( BC \) in exterior, de exemplu si se unesc celelalte varfuri cu \( A \) si se considera intersectia acestor segmente cu latura \( BC \). Aceasta este prima latura a patratului. Acum se construiesc perpendicularele pe \( BC \) pana intersecteaza celelalte doua laturi si se obtin celelalte doua varfuri ale patratului. Demonstratia ca ce ati obtinut este patrat, se obtine aplicand teorema fundamentala a asemanarii. Latura patratului se obtine din faptul ca raportul inaltimilor a doua triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemanare al triunghiurilor.

(Ceea ce am facut este de fapt o omotetie.)

Dupa ce ati aflat laturile, pur si simplu cautati patratul cu latura mai mare (efectuand si pe celelalte laturi aceeasi constructie).

Faptul ca patratul trebuie sa aiba varfurile pe frontiera triunghiului se observa din faptul ca un patrat care nu le are pe toate pe laturile triunghiului are arie mai mica decat unul cu varfurile pe laturi.

[SNT]

Imi pare rau, dar mie cea mai complicata parte din demonstratie mi s-a parut cand a trebuit sa dem. ca patratul maximal cu 3 varfuri pe cate o latura a triunghiului si celalalt in interior are latura mai mica decat cel cu toate varfurile pe laturile triunghiului si in nici un caz calculul propriu-zis al lungimii laturii patratului precizat (cel maximal) - care si asa iese destul de repede.