Inel cu 2p elemente

[c.adryan]

Fie \( (A,+,\cdot) \) un inel cu \( 2p \) elemente, unde \( p\ge 3 \) e un numar prim. Demonstrati ca \( A \) e izomorf cu \( \mathbb{Z}_{2p} \).

[Beniamin Bogosel]

Din teorema lui Cauchy exista un element de ordin 2, \( a \) si unul \( b \) de ordin \( p \). Atunci oricare dintre elementele \( 1,b,...,(p-1)b,a,a+b,...,a+(p-1)b \) sunt distincte. Deoarece sunt in numar de \( 2p \), acestea sunt toate elementele inelului.

De aici nu mai e mult.

[Bogdan Cebere]

In GM 11/2005 apare si o generalizare:

Fie \( A \) un inel cu \( n \) elemente. Daca \( n \) este liber de patrate, atunci demonstrati ca \( A \) este izomorf cu \( Z_n \).

Ioan Baetu

[Radu Titiu]

Pentru cazul cand \( |A|=n \), liber de patrate, presupunem \( char A=d \), \( d<n \). Fie \( p \) prim a.i. \( p \) sa divida \( \frac{n}{d} \) (deci p nu divide \( d \), pentru ca \( n \) e liber de patrate). Din teorema lui Cauchy rezulta ca exista \( x \in A \) a.i. \( ord(x)=p \). Dar \( d \cdot x =0 \) rezulta ca \( p | d \), contradictie.

Deci \( char A =n \), de unde rezulta ca \( (A,+) \) e ciclic generat de \( 1 \). Pentru a demonstra izomorfismul alegem functia \( f:A \to \mathbb{Z}_n \) , cu legea

\( f(\underbrace{1+1 + \cdots +1 }_{\text{de } k \text{ ori}})= \overline{k} \), care se verifica usor ca este izomorfism.