f(x)>=1/x, atunci f nu admite primitive

[Cezar Lupu]

Sa se arate ca daca o functie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) satisface \( f(x)\geq\frac{1}{x}, \forall x>0 \), atunci \( f \) nu admite primitive.

[Marius Mainea]

Folosim propozitia:

Punctele de discontinuitate ale unei functii cu proprietatea lui Darboux sunt numai de speta a-II-a, mai exact puncte in care nu exista limitele laterale (finite sau infinite).

Asadar in cazul nostru prin trecere la limita dreapta la 0 obtinem ca \( \lim_{x\searrow 0}f(x)=+\infty \), deci f nu are PD si nu admite nici primitive.

[Radu Titiu]

Folosim propozitia:

Punctele de discontinuitate ale unei functii cu proprietatea lui Darboux sunt numai de speta a-II-a, mai exact puncte in care nu exista limitele laterale (finite sau infinite).

Din propozitia asta nu rezulta ca \( f \) nu are PD. Daca \( \lim_{x\to \0}f(x)=+ \infty \), asta nu indica faptul ca \( f \) are punct de discontinuitate de speta I.

Presupunem ca \( f \) admite primitiva \( F \). Fie \( g: (0,\infty) \to \mathbb{R} \), \( g(x)=F(x)-\ln(x) \). Din ipoteza avem \( g^{\prime}(x)\geq 0 \), \( \forall x>0 \), deci \( g(x)\leq g(1) \), \( \forall x \in (0,1] \), echivalent cu \( F(x)\leq \ln(x)+F(1) \).

De aici rezulta ca \( \lim_{x\to 0, x>0}F(x)=- \infty \). Dar din teorema lui L'Hospital avem

\( \lim_{x\to 0 ,x>0}f(x)=\lim_{x\to 0 , x>0} \frac{F^{/}(x)}{x^{/}}=\lim_{x\to 0 , x>0} \frac{F(x)}{x}=+\infty \),
contradictie.

[Virgil Nicula]

Fie \( f\ :\ \mathbb{R}\ \to\ \mathbb{R} \) pentru care \( f(x)\ \geq\ \frac{1}{x}\ ,\ (\forall )\ x\ >\ 0\ \Longrightarrow\ f \) nu admite primitive.

Este esential faptul ca \( 0 \) apartine domeniului de definitie \( \mathbb R\ . \) Se observa ca \( \lim_{x\searrow 0}\ f(x)=\infty \), ceea ce inseamna ca \( (\forall )\ \epsilon\in\mathbb{R}\ ,\ (\exists)\ \delta >0 \) astfel incat \( (\forall )\ x\in\left(0\ ,\ \delta \right) \) sa avem \( f(x)\ >\ \epsilon\ . \)

Deoarece \( \epsilon \) este precedat de cuantificatorul universal, putem alege \( \epsilon\ >\ f(0)\ . \) Se evidentiaza astfel un interval \( J=\left[0\ ,\ \delta )\ \subset\ \mathbb R \) a carui imagine \( f(J) \) prin functia \( f \) nu este interval deoarece

\( f(J)=X\ \cup\ Y\ ,\ X\ \cap\ Y\ =\ \emptyset\ ,\ \sup X\ <\ \inf Y \) unde \( X=\{f(0)\ \} \) si \( Y\ \subset\ (\ \epsilon\ ,\ \infty\ )\ . \)

In concluzie, functia \( f \) nu are proprietatea lui Darboux.

Observatie. \( X\ \subset\ Y\ \Longrightarrow\ \inf X\ \ge\ \inf Y\ \ \wedge\ \ \sup X\ \le\ \sup Y\ . \) De exemplu, cel mai scund elev dintr-o clasa nu poate fi mai scund decat cel mai scund elev din scoala si cel mai inalt elev dintr-o clasa nu poate fi mai inalt decat cel mai inalt elev din scoala.

[Marius Mainea]

Folosim propozitia:

Punctele de discontinuitate ale unei functii cu proprietatea lui Darboux sunt numai de speta a-II-a, mai exact puncte in care nu exista limitele laterale (finite sau infinite).

Din propozitia asta nu rezulta ca \( f \) nu are PD. Daca \( \lim_{x\to \0}f(x)=+ \infty \), asta nu indica faptul ca \( f \) are punct de discontinuitate de speta I.

Ba da, rezulta ca f nu are Darboux deoarece conform propozitiei o functie cu P.D. nu poate avea limita infinita in nici un punct.

Bineinteles ca 0 nu este punct de discontinuitate de speta I dar nici nu trebuie sa fie ca sa aplic propozitia.

Daca ar fi fost de speta I atunci deasemenea conform propozitiei f nu ar fi avut Daboux.

[Marius Mainea]

Dar din teorema lui L'Hospital avem

\( \lim_{x\to 0 ,x>0}f(x)=\lim_{x\to 0 , x>0} \frac{F^{/}(x)}{x^{/}}=\lim_{x\to 0 , x>0} \frac{F(x)}{x}=+\infty \),
contradictie.

Asa se aplica regula lui L'Hospital

Nu cumva la cazul \( \frac{0}{0} \) trebuia ca cele doua functii sa tinda la 0

[Radu Titiu]

Da, e gresit. Este un caz mai general pentru teorema lui L Hospital, cand ajunge ca doar numitorul sa tinda la infinit. M-am lasat dus de val, ca sa zic asa. In cazul cand doar numitorul tinde la 0, nu mai tine. Contraexemplu: \( \lim_{x\to 0} \frac{x+1}{x} \).

[Beniamin Bogosel]

Folosim propozitia:

Punctele de discontinuitate ale unei functii cu proprietatea lui Darboux sunt numai de speta a-II-a, mai exact puncte in care nu exista limitele laterale (finite sau infinite).

Asadar in cazul nostru prin trecere la limita dreapta la 0 obtinem ca \( \lim_{x\searrow 0}f(x)=+\infty \), deci f nu are PD si nu admite nici primitive.

Dupa cate imi amintesc, punctele de discontinuitate de speta a II-a sunt cele care nu sunt de speta I, iar cele de speta I sunt cele in care exista limitele laterale si sunt finite. Deci daca intr-un punct functia are limita infinit, acel punct este discontinuitate de speta II.

In ceea ce priveste faptul cum a aplicat Radu l'Hospital, am mai postat si anul trecut dupa Olimpiada Nationala ca se aplica eronat teorema lui l'Hospital, chiar si la acest nivel... Deci atentie pe mai departe si invatati bine teoria...

[Marius Mainea]

Da, este de speta a II-a dar nu poate fi punct de discontinuitate pentru o functie cu P.D.

Exprimarea din propozitie este putin ,,incompleta'' dar asa am invatat-o si eu (si toata lumea in general) de aceea am completat-o eu in continuare anume ca discomtinuitatile unei functii cu P.D. sunt cele de speta a II-a in care nu exista limitele laterale finite sau infinite si nu cele de speta a II-a in care limitele laterale sunt infinite.

[Virgil Nicula]

Aceasta problema apare si in cartea

Probleme de ANALIZA MATEMATICA pentru clasa a XII -a, Ed. ALL EDUCATIONAL, 2002, Bucuresti

(la pag. 17, exemplul 6, cap. 2 "Cercetarea primitivitatii unei functii").

Problema similara (din aceeasi carte, pag. 59, exercitiul 7.25):

Functia \( f\ :\ \mathbb R\ \rightarrow\ \mathbb R \) admite o primitiva \( F \) cu \( F(x)\cdot f(x)\ \le\ \frac {\sin 2x}{1+\sin^2x} \)

oricare ar fi \( x\in\mathbb R\ . \) Sa se arate ca \( \lim_{x\to\infty}\ F(x) \) nu exista.