Functie cu o proprietate

[Laurian Filip]

Sa se stabileasca daca exista sau nu o functie \( f \) cu proprietatea \( f(f(x))=-\frac{1}{x}\ ,\ x\in\mathbb{R}^* \) si in caz afirmativ sa se ofere un exemplu.

[Beniamin Bogosel]

Cred ca raspunsul este afirmativ, dar nu stiu inca o demonstratie. Am dat peste urmatoarea problema:

Fie \( M \) o multime arbitrara si o functie \( f:M \to M \) cu \( f(f(x))=x,\ \forall x \in M \). Atunci exista o aplicatie \( g:M\to M \) cu proprietatea ca \( g\circ g=f \).

De aici rezulta imediat existenta unei functii cu proprietatea din enunt. In ceea ce priveste determinarea unei astfel de functii, problema se poate reduce la a o determina o functie pe \( \mathbb{Q}* \) sau orice alta multime numarabila din \( \mathbb{R} \) cu proprietatea respectiva. Pe \( \mathbb{R}\setminus \{-1,1,0\} \) se poate defini usor o functie cu proprietatea din enunt, \( f(x)=\begin{cases}-x,\ x \in (0,1) \\
\frac{1}{x},\ x \in (-1,0) \\
-x,\ x\in (-\infty,-1)\\
\frac{1}{x},\ x \in (1,\infty) \end{cases} \)