Functie continua care are puncte fixe

[Cezar Lupu]

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat sa avem \( \int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2} \). Demonstrati ca exista \( x_{0}\in (0,1) \) astfel incat \( f(x_{0})=x_{0} \).

ONM 1977

[Vlad Matei]

Fie \( F \) o primitiva al lui \( f \). Avem ca \( \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{2} \). Fie \( g(x)=F(x)-\frac{x^2}{2} \). Avem ca \( g(1)=g(0) \) de unde din teorema lui Rolle avem ca exista \( x_{0} \) astfel incat \( g'(x_{0})=0 \) de unde \( f(x_{0})=x_{0} \).

[Gelfand Valentin]

Cred ca poti evita teorema lui Role. Este destul de clar ca \( \int_{0}^{1}(f(x)-x) dx=0 \), iar aici poti aplica teorema de medie.

[Cezar Lupu]

Da Valentin, ai dreptate. Se poate evita teorema lui Rolle, folosind prima teorema de medie, dar sa stii ca teorema de medie se poate demonstra si folosind teorema lui Rolle.