Estimari pentru o functie continua

[Cezar Lupu]

Fie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) o functie continua pe \( \mathbb{R} \). Daca exista \( M>0 \) astfel incat

\( \left|\int_{\frac{x+y}{2}}^{x}f(t)dt-\int_y^{\frac{x+y}{2}}f(t)dt\right|\leq\frac{M(x-y)^{2}}{2}, \forall x, y\in\mathbb{R}, \)

atunci \( |f(x+y)-f(x)|\leq 2M|y|, \forall x, y\in\mathbb{R} \).

[Theodor Munteanu]

Punem \( \frac{{x + y}}{2} = u,\frac{{x - y}}{2} = v \) si obtinem \(
\left| {\int\limits_{\rm u}^{{\rm u + v}} {{\rm f(t)dt - }\int\limits_{{\rm u - v}}^{\rm u} {{\rm f(t)dt}} } } \right| \le av^2 ,a = 2M \) deci demonstram ca
\( {\rm |}f(u + v) - f(u)| \le a|v| \);
Fie F primitiva a lui f.
Atunci \( - av^2 \le F(u - v) - 2F(u) + F(u + v) \le av^2 \);
Se considera \( g(x) = F(x) - \frac{a}{2}x^2 ,h(x) = F(x) + \frac{a}{2}x^2 \);Se arata ca g e concava deci g' e descrescatoare.Pentru
\( x_1 ,x_2 \in R,x_1 < x_2 \Rightarrow g(x_1 ) \ge g(x_2 ) \Rightarrow \\ \)\( f(x_1 ) - ax_1 \ge f(x_2 ) - ax_2 \Rightarrow f(x_1 ) - f(x_2 ) \ge a(x_1 - x_2 ) \);Se deomnstreaza ca g e convexa deci\(
f(x_1 ) - f(x_2 ) \le a(x_2 - x_1 ) \Rightarrow |f(x_1 ) - f(x_2 )| \le a|x - y| \\
\) si deoarece am luat x si y arbitrar rezulta imediat concluzia.