Inegalitate integrala de tip Cauchy

[Cezar Lupu]

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie integrabila astfel incat

\( \int_0^1xf(x)dx=\int_0^1x^2f(x)dx \).

Sa se arate ca \( \int_0^1f^{2}(x)dx\geq 8\left(\int_0^1f(x)dx\right)^{2} \).


Cezar Lupu, Tudorel Lupu

[Marius Mainea]

Folosim ideea demonstratiei de aici:

Cautam a si b astfel incat polinomul \( P(x)=ax^2+bx \) sa satisfaca conditiile \( \int_0^1xP(x)dx=\int_0^1x^2P(x)dx=1 \)

Gasim a=20 si b=-12.

Asadar \( \int_0^1f^2(x)dx\ge (a+b)\(\int_0^1f(x)dx\)^2=8\(\int_0^1f(x)dx\)^2 \)

Deasemenea problema se poate generaliza avand conditia \( \int_0^1x^mf(x)dx=\int_0^1x^nf(x)dx \) cu m si n naturale oarecare.
Mai precis:

Lema:
Daca m si n sunt naturale distincte astfel incat \( \int_0^1x^mf(x)dx=\int_0^1x^nf(x)dx=1 \),atunci \( \int_0^1f^2(x)dx\ge2(m+n+1) \).

Pentru demonstatie se procedeaza analog gasindu-se \( a=\frac{(m+n+1)(2m+1)}{m-n} \) si \( b=\frac{(m+n+1)(2n+1)}{n-m} \)