O alta inegalitate integrala destul de interesanta

[Cezar Lupu]

Fie \( f:[-1, 1]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat sa avem \( \int_{-1}^{1}x^2f(x)dx=0. \)

Sa se arate ca \( \int_{-1}^{1}f^{2}(x)dx\geq\frac{9}{8}\left(\int_{-1}^{1}f(x)dx\right)^{2}. \)

Cezar Lupu & Tudorel Lupu

[Marius Mainea]

Se foloseste problema propusa de aceiasi autori:

Daca \( f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \)sunt doua functii continue cu proprietatea ca \( \int_a^bf(x)g(x)=0, \) atunci \( \(\int_a^bf^2(x)dx\)\(\int_a^bg^2(x)dx\)\ge \frac{4}{(b-a)^2}\(\int_a^bf(x)dx\)^2\(\int_a^bg(x)dx\)^2 \)

[Cezar Lupu]

Asta era o parte din problema pe care am trimis-o la AMM acum 2 ani si care a si aparut de altfel, insa redactorul sef, Doug Hensley mi-a spus ca e mai estetica cu \( a=0 \) si \( b=1 \).

[aleph]

Se foloseste problema propusa de aceiasi autori:

Daca \( f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} \)sunt doua functii continue cu proprietatea ca \( \int_a^bf(x)g(x)=0, \) atunci \( \(\int_a^bf^2(x)dx\)\(\int_a^bg^2(x)dx\)\ge \frac{4}{(b-a)^2}\(\int_a^bf(x)dx\)^2\(\int_a^bg(x)dx\)^2 \)

Inegalitatea iniţială nu rezultă de aici

[Radu Titiu]

Pentru problema initiala :

Din inegalitatea Cauchy avem:

\( \int_{-1}^1 (ax^2+b)^2 dx \cdot \int_{-1}^1 f^2(x) dx \geq \left( \int_{-1}^1 (ax^2+b) f(x)dx\right)^2=b^2\left( \int_{-1}^1 f(x)dx\right)^2 \)

Cautam a si b a.i. sa obtinem constantele din inegalitate si se pot alege:

\( a=5 \) si \( b=-3 \) .