Sa se determine toate functiile \( f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) cu proprietatea ca \( f(x+y)\leq f(xy) \), oricare ar fi \( x,\ y\in\mathbb{R}. \)
G.M. 12/2008
Inecuatie functionala
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
-
DrAGos Calinescu
- Thales
- Posts: 121
- Joined: Sun Dec 07, 2008 10:00 pm
- Location: Pitesti
Daca \( y=0 \) obtinem \( f(x)\le f(0)\forall x\in\mathbb{R} \)
Deci \( f(0) \) este majorant pentru imaginea functiei.
Notam \( f(0)=a \)
Dar pentru \( y=-x \) obtinem \( f(0)\le f(-x^2)\forall x\in\mathbb{R}\Longrightarrow f(x)=a\forall x\in\mathbb{R}_- \)
Din substitutiile \( x=-x (x\in\mathbb{R}_+) \) si \( y=-1 \) obtinem \( a=f(-1-x)\le f(x) \) Dar \( a \) majorant\( \Longrightarrow f(x)=a\forall x\in\mathbb{R}_+ \)
Deci solutia inecuatiei este functia constanta \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f(x)=a \)
Deci \( f(0) \) este majorant pentru imaginea functiei.
Notam \( f(0)=a \)
Dar pentru \( y=-x \) obtinem \( f(0)\le f(-x^2)\forall x\in\mathbb{R}\Longrightarrow f(x)=a\forall x\in\mathbb{R}_- \)
Din substitutiile \( x=-x (x\in\mathbb{R}_+) \) si \( y=-1 \) obtinem \( a=f(-1-x)\le f(x) \) Dar \( a \) majorant\( \Longrightarrow f(x)=a\forall x\in\mathbb{R}_+ \)
Deci solutia inecuatiei este functia constanta \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f(x)=a \)