Daca \( A,B \) sunt doua matrice reale de ordin 2 sau 3 si \( (AB-BA)^2=O \), aratati ca \( \det(A^2+B^2)\geq0 \)
Mihai Opincariu
Observatie: Daca matricele sunt de ordinul 2 cautati http://www.mateforum.ro/viewtopic.php?t=297
Inegalitate cu determinant
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
opincariumihai
- Thales
- Posts: 134
- Joined: Sat May 09, 2009 7:45 pm
- Location: BRAD
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Pentru ordinul 2 e clar.
Daca ordinul e 3 folosim relatia :
\( \det(X+Y)=\det X+\tr(XY^{\ast})+\tr(X^{\ast}Y)+\det Y \) pentru orice matrice X si Y de ordinul 3.
Asadar \( \det(X+Y)+\det(X-Y)=2[\det X+\tr(XY^{\ast})] \)
La fel ca in cazul ordinului 2 se obtine
\( 2\det(A+iB)(A-iB)=2[\det(A^2+B^2)+\tr[(A^2+B^2)[i(AB-BA)]^{\ast}=2\det(A^2+B^2)\ge 0 \),
deoarece \( rang(AB-BA)\le 1 \) (justificati!).
Daca ordinul e 3 folosim relatia :
\( \det(X+Y)=\det X+\tr(XY^{\ast})+\tr(X^{\ast}Y)+\det Y \) pentru orice matrice X si Y de ordinul 3.
Asadar \( \det(X+Y)+\det(X-Y)=2[\det X+\tr(XY^{\ast})] \)
La fel ca in cazul ordinului 2 se obtine
\( 2\det(A+iB)(A-iB)=2[\det(A^2+B^2)+\tr[(A^2+B^2)[i(AB-BA)]^{\ast}=2\det(A^2+B^2)\ge 0 \),
deoarece \( rang(AB-BA)\le 1 \) (justificati!).