Ideale in inel de functii continue

[Beniamin Bogosel]

Determinati idealele maximale ale inelului \( \mathcal{C}([0,1]) \) al functiilor continue definite pe \( [0,1] \) cu valori reale, inzestrat cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire.

Admitere SNSB 2009

[Beniamin Bogosel]

Idealele maximale sunt de forma \( I_\lambda=\{f \in \mathcal{C}([0,1]) : f(\lambda )=0 \} \). Evident, acestea sunt ideale. In continuare vom considera toate functiile cu care lucram ca fiind parte din inelul dat.

Pentru a demonstra ca \( I_\lambda \) este maximal, presupunem ca exista un alt ideal \( I\supset I_\lambda \) care contine o functie \( g \) continua pe [0,1] care nu se anuleaza in \( \lambda \); o presupunem pozitiva pe o vecinatate \( V \) a lui \( \lambda \). Deoarece \( g \) este marginita putem sa alegem o functie \( h \in I_\lambda \) astfel incat \( g+h>0 \) care este astfel inversabila. \( g+h \in I \) prin urmare \( I \) este chiar inelul functiilor continue, contradictie cu presupunerea de ideal maximal.

[Dragos Fratila]

Atunci \( g=(f+M)\cdot h -M=h \cdot f + M \cdot (h-1) \), unde \( h=\frac{g+M}{f+M} \) apartine inelului. Astfel \( h-1=0 \) pe \( E \), prin urmare daca \( f \in I \) atunci si \( g \in I \) si reciproc.

Cum rezulta ca \( g \) e in ideal?

Cred ca e relevant:
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 7&t=225223

[Beniamin Bogosel]

Nu e bine...
imi pare rau. o sa corectez.