Intre clasele a V-a ale unei scoli se desfasoara un turneu de fotbal dupa regulile
obisnuite:
-Fiecare echipa disputa cate un meci cu fiecare dintre celelalte echipe;
-In cazul unei victorii, echipa invingatoare primeste 3 puncte si echipa invinsa nu primeste niciun punct, iar in cazul unui meci egal, ambele echipe primesc cate un punct.
La sfarsitul turneului se constata ca numarul total de puncte din clasament este 21. Aflati cate echipe au participat la turneu si cate puncte a luat fiecare echipa. Justificati raspunsul.
Olimpiada Nationala 2009(problema 2)
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
Fie n numarul de echipe din campionat.
Evident numarul de meciuri este \( N=\frac{(n-1)n}{2} \)
La fiecare meci, numarul total de puncte pe care il primesc cele 2 echipe la un loc este sau 3 sau 2.
Deci \( \frac{21}{2} \geq N \geq \frac{21}{3} \)
\( 21 \geq (n-1)n \geq 14 \)
De unde gasim singura solutie n=5
Deci N=10
Observat ca singura varianta posibila este: 9 meciuri s-au terminat la egalitate, si in unul din meciuri o echipa a castigat.
Locul I: 3 egaluri si o victorie = 6 pct
Locurile II-IV: 4 egaluri = 4 pct
Locul V: 3 egaluri si o infrangere = 3 pct
Evident numarul de meciuri este \( N=\frac{(n-1)n}{2} \)
La fiecare meci, numarul total de puncte pe care il primesc cele 2 echipe la un loc este sau 3 sau 2.
Deci \( \frac{21}{2} \geq N \geq \frac{21}{3} \)
\( 21 \geq (n-1)n \geq 14 \)
De unde gasim singura solutie n=5
Deci N=10
Observat ca singura varianta posibila este: 9 meciuri s-au terminat la egalitate, si in unul din meciuri o echipa a castigat.
Locul I: 3 egaluri si o victorie = 6 pct
Locurile II-IV: 4 egaluri = 4 pct
Locul V: 3 egaluri si o infrangere = 3 pct