Sa se arate ca inelul \( \frac{Z}{(a+ib)} \) are \( a^2+b^2 \) elemente (\( a\neq 0 \) sau \( b\neq 0 \)).
Mai general, este adevarat ca inelul \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(a+b\sqrt{d})} \), \( d \) liber de patrate (\( a\neq 0 \) sau \( b\neq 0 \)) are \( |a^2-db^2| \) elemente.
Inelul Z[i]/(a+bi) are a^2+b^2 elemente
Mai general \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(a+bi)} \) are \( a^2-db^2 \) elemente.
Fie \( z=a+b\sqrt{d} \), \( g=(a,b) \), deci \( a=gx \) si \( b=gy \), \( (x,y)=1 \). Fie \( m=x^2-dy^2 \); rezulta \( (y,m)=1 \), deci exista \( q \) a.i. \( yq=1 mod(m) \), rezulta ca \( yq=1 mod(x+y\sqrt{d}) \); \( gm=0 mod(a+b\sqrt{d}) \).
Acum vreau sa arat ca \( g\sqrt{d}=-gxq , mod(a+b\sqrt{d}) \). Stim ca in \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(x+y\sqrt{d})}, \hat{x}=\hat{-y\sqrt{d}} \) si deci rezulta ca \( \hat{xq+yq\sqrt{d}}=\hat{0} \), \( \hat{yq}=\hat{1} \) deci \( \hat{xq+\sqrt{d}}=\hat{0} \). Din ultima relatie rezulta ca \( \hat{gxq+g\sqrt{d}}=\hat{0} \) in \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{g(x+y\sqrt{d})} \), rezultatul dorit.
Deci toate elementele din \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(a+bi)} \) sunt de forma \( \hat{j+k\sqrt{d}} \), cu \( 0\leq{j}<gm \) si \( 0\leq{k}<g \). Aceste elemente sunt distincte: daca nu, fie \( \hat{j+k\sqrt{d}}=\hat{j`+k`\sqrt{d}} \) deci \( \hat{j-j`}+\hat{(k-k`)\sqrt{d}}=\hat{0} \Leftrightarrow \) \( j-j`=ngm \) si \( k-k`=n`g \), \( n,n`\in {\mathbb N} \). Dar \( j,j`<g \Rightarrow j-j`<g \Rightarrow n=n`=0 \)
Stiind ca elementele din \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(a+bi)} \) sunt \( \hat{j+k\sqrt{d}} \), cu \( 0\leq{j}<gm \) si \( 0\leq{k}<g \) atunci ele sunt in numar de \( g^2m=a^2-db^2 \)
Fie \( z=a+b\sqrt{d} \), \( g=(a,b) \), deci \( a=gx \) si \( b=gy \), \( (x,y)=1 \). Fie \( m=x^2-dy^2 \); rezulta \( (y,m)=1 \), deci exista \( q \) a.i. \( yq=1 mod(m) \), rezulta ca \( yq=1 mod(x+y\sqrt{d}) \); \( gm=0 mod(a+b\sqrt{d}) \).
Acum vreau sa arat ca \( g\sqrt{d}=-gxq , mod(a+b\sqrt{d}) \). Stim ca in \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(x+y\sqrt{d})}, \hat{x}=\hat{-y\sqrt{d}} \) si deci rezulta ca \( \hat{xq+yq\sqrt{d}}=\hat{0} \), \( \hat{yq}=\hat{1} \) deci \( \hat{xq+\sqrt{d}}=\hat{0} \). Din ultima relatie rezulta ca \( \hat{gxq+g\sqrt{d}}=\hat{0} \) in \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{g(x+y\sqrt{d})} \), rezultatul dorit.
Deci toate elementele din \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(a+bi)} \) sunt de forma \( \hat{j+k\sqrt{d}} \), cu \( 0\leq{j}<gm \) si \( 0\leq{k}<g \). Aceste elemente sunt distincte: daca nu, fie \( \hat{j+k\sqrt{d}}=\hat{j`+k`\sqrt{d}} \) deci \( \hat{j-j`}+\hat{(k-k`)\sqrt{d}}=\hat{0} \Leftrightarrow \) \( j-j`=ngm \) si \( k-k`=n`g \), \( n,n`\in {\mathbb N} \). Dar \( j,j`<g \Rightarrow j-j`<g \Rightarrow n=n`=0 \)
Stiind ca elementele din \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(a+bi)} \) sunt \( \hat{j+k\sqrt{d}} \), cu \( 0\leq{j}<gm \) si \( 0\leq{k}<g \) atunci ele sunt in numar de \( g^2m=a^2-db^2 \)