Sa se arate ca elementul \( 2+i\sqrt{3} \) este prim in inelul \( \mathbb{Z}[i\sqrt{3}] \).
(T. Albu, GMA 1987)
2+i\sqrt{3} este element prim in inelul Z[i\sqrt{3}]
Aratam ca \( Z[i\sqrt{3}]/(2+i\sqrt{3}) \) este corp, de unde rezulta \( 2+i\sqrt{3} \) e prim.
Fie \( z \in Z[i\sqrt{3}], \, z=(2+i\sqrt{3})q+r, \, N(r)<N(2+i\sqrt{3})=7 \). Trecem la clase de resturi modulo idealul \( (2+i\sqrt{3}) \) si avem ca \( \hat{z}=\hat{(2+i\sqrt{3})q}+\hat{r} \), deci \( \hat{z}=\hat{r} \). Fie \( r=a+bi\sqrt{3}, \, N(r)<7 \Rightarrow a^2+3b^2<7 \), deci \( r\in\{0,-1,1,i\sqrt{3},-i\sqrt{3},1+i\sqrt{3},1-i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3}, -1-i\sqrt{3}\} \). Se observa ca \( \hat{1}=\hat{-1-i\sqrt{3}} \) si \( \hat{-1}=\hat{1+i\sqrt{3}} \), deci \( Z[i\sqrt{3}]/(2+i\sqrt{3}) \) este format din clasele elementelor \( {0,1,-1,i\sqrt{3},-i\sqrt{3},1-i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3}} \) si este izomorf cu \( Z_{7} \) prin morfismul f dat astfel: \( f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-i\sqrt{3}, f(3)=1-i\sqrt{3} \), \( f(4)=-1+i\sqrt{3}, f(5)=i\sqrt{3}, f(6)=-1 \).
Deci \( \mathbb{Z}[i\sqrt{3}]/(2+i\sqrt{3}) \) este corp.
Fie \( z \in Z[i\sqrt{3}], \, z=(2+i\sqrt{3})q+r, \, N(r)<N(2+i\sqrt{3})=7 \). Trecem la clase de resturi modulo idealul \( (2+i\sqrt{3}) \) si avem ca \( \hat{z}=\hat{(2+i\sqrt{3})q}+\hat{r} \), deci \( \hat{z}=\hat{r} \). Fie \( r=a+bi\sqrt{3}, \, N(r)<7 \Rightarrow a^2+3b^2<7 \), deci \( r\in\{0,-1,1,i\sqrt{3},-i\sqrt{3},1+i\sqrt{3},1-i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3}, -1-i\sqrt{3}\} \). Se observa ca \( \hat{1}=\hat{-1-i\sqrt{3}} \) si \( \hat{-1}=\hat{1+i\sqrt{3}} \), deci \( Z[i\sqrt{3}]/(2+i\sqrt{3}) \) este format din clasele elementelor \( {0,1,-1,i\sqrt{3},-i\sqrt{3},1-i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3}} \) si este izomorf cu \( Z_{7} \) prin morfismul f dat astfel: \( f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-i\sqrt{3}, f(3)=1-i\sqrt{3} \), \( f(4)=-1+i\sqrt{3}, f(5)=i\sqrt{3}, f(6)=-1 \).
Deci \( \mathbb{Z}[i\sqrt{3}]/(2+i\sqrt{3}) \) este corp.