Triunghi ortic

[Theodor Munteanu]

Fie triunghiul ABC, \( A_1 B_1 C_1 \) triunghiul ortic corespunzator, M, N, P mijloacele laturilor \( B_1 C_1 , C_1 A_1, A_1 B_1 \).
Sa se arate ca AM, BN si CP sunt concurente.

[Marius Mainea]

Folosim Lema:

,,Daca E, F si G sunt pe laturile AB, AC respectiv BC ale triunghiului ABC si \( \{M\}=AG\cap EF \), atunci \( \frac{EM}{MF}=\frac{BG}{GC}\cdot\frac{AE}{AF}\cdot\frac{AC}{AB}. \)"

Apoi aplicand teorema lui Ceva rezulta concluzia.

[Virgil Nicula]

Fie triunghiul ortic \( DEF \) al triunghiului \( ABC \), unde \( D\in BC \), \( E\in CA \), \( F\in AB \). Notam mijloacele \( X \), \( Y \), \( Z \) ale segmentelor \( [EF] \), \( [FD] \), \( [DE] \) respectiv. Sa se arate ca dreptele \( AX \), \( BY \), \( CZ \) sunt concurente.

Demonstratie.

Notam mijloacele \( M \), \( N \), \( P \) ale laturilor \( [BC] \), \( [CA] \), \( [AB] \). Din faptul ca \( \triangle AEF\sim\triangle ABC \) rezulta ca \( [AX \), \( [AM \) sunt omoloage in asemanare, ceea ce inseamna ca \( \widehat {FAX}\equiv\widehat {CAM} \), adica \( [AX \) este \( A \)-simediana in \( \triangle ABC \). In concluzie, dreptele \( AX \), \( BY \), \( CZ \) sunt simediane si dupa cum se stie sunt concurente in centrul simedian (Lemoine) al \( \triangle ABC \) .

O usoara extindere.

Fie \( \triangle\ ABC \) si punctele \( D\in BC \), \( E\in CA \), \( F\in AB \) astfel incat dreptele \( AD \), \( BE \), \( CF \) sunt concurente. Consideram punctele \( X\in EF \), \( Y\in FD \), \( Z\in DE \). Sa se arate ca dreptele \( AX \), \( BY \), \( CZ \) sunt concurente daca si numai daca dreptele \( DX \), \( EY \), \( FZ \) sunt concurente si in acest caz ce se poate spune de cele trei puncte de concurenta, sunt intotdeauna coliniare sau nu ?

[Theodor Munteanu]

O completare a rezolvarii d-lui Virgil Nicula: Simediana unui varf este locul geometric al mijloacelor antiparalelor la latura opusa(Lhuillier). Cum triunghiul ortic e format din antiparalele rezulta concluzia.