Pe latura Ox a unghiului xOy se considera punctele A,B,C astfel incat \( \frac{OA}{1}=\frac{AB}{2}=\frac{BC}{3} \) iar pe latura Oy punctele \( A_1,B_1,C_1 \) astfel ca \( \frac{OA_1}{3}=\frac{A_1B_1}{3}=\frac{B_1C_1}{2} \). Sa se arate ca dreptele \( AA_1,BB_1,CC_1 \) sunt concurente.
Olimpiada U.R.S.S.
Concurenta
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Fie \( AA_1\cap CC_1=M \)
In triunghiul \( OAA_1 \), cu transversala \( CC_1M \) aplicam Menelaos:
\( \frac{CO}{CA}\cdot\frac{MA}{MA_1}\cdot\frac{C_1A_1}{C_1O}=1\Rightarrow\frac{MA}{MA_1}=\frac{4}{3} \)
In acelasi triunghi aplicam reciproca lui Menelaos pentru punctele \( B, \ B_1, \ M \)
\( \frac{BO}{BA}\cdot\frac{MA}{MA_1}\cdot\frac{B_1A_1}{B_1O}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=1 \)
Rezulta ca punctele sunt coliniare, deci dreapta \( BB_1 \) trece prin M.
In triunghiul \( OAA_1 \), cu transversala \( CC_1M \) aplicam Menelaos:
\( \frac{CO}{CA}\cdot\frac{MA}{MA_1}\cdot\frac{C_1A_1}{C_1O}=1\Rightarrow\frac{MA}{MA_1}=\frac{4}{3} \)
In acelasi triunghi aplicam reciproca lui Menelaos pentru punctele \( B, \ B_1, \ M \)
\( \frac{BO}{BA}\cdot\frac{MA}{MA_1}\cdot\frac{B_1A_1}{B_1O}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=1 \)
Rezulta ca punctele sunt coliniare, deci dreapta \( BB_1 \) trece prin M.