IMO 2009 problema 2

[Omer Cerrahoglu]

Fie \( ABC \) un triunghi oarecare si \( P \) si \( Q \) puncte oarecare pe laturile \( AB \) respectiv \( AC \). Se stie ca cercul circumscris triunghiului \( LMN \) este tangent la latura \( PQ \), unde \( L \), \( M \) si \( N \) sunt mijloacele laturilor \( PQ \), \( PC \) respectiv \( QB \). Aratati ca \( OP=OQ \), unde \( O \) este centrul cercului circumscris triunghiului \( ABC \).

[mumble]

Din faptul ca cercul \( \(LMN\) \) e tangent la \( PQ \) si \( LM,LN \) sunt paralele cu \( AC,AB \) (ca linii mijlocii) reiese ca \( \angle LMN=\angle APQ \) si \( \angle LNM=\angle AQP \) deci gasim asemanarea \( \bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup LMN, \) de unde \( \frac{AP}{AQ}=\frac{LM}{LN}=\frac{QC}{PB}. \) Astfel \( AP\cdot PB=AQ\cdot QC, \) ceea ce arata ca punctele \( P \) si \( Q \) au puteri egale fata de cercul \( \(ABC\) \) sau, echivalent \( R^2-OP^2=R^2-OQ^2 \) (unde \( R \) e raza cercului \( \(ABC\) \)). Prin urmare \( OP=OQ. \)

Remarca. Problema admite si reciproca, adica, daca \( OP=OQ \) atunci iese ca cercul \( \(LMN\) \) e tangent la \( PQ. \) Rationamentul functioneaza exact ca mai sus.