IMO 2009 problema 4

[Omer Cerrahoglu]

Fie \( ABC \) un triunghi cu \( AB=AC \). Fie \( D \) piciorul bisectoarei din \( A \) pe \( BC \) si \( E \) piciorul bisectoarei din \( B \) pe \( AC \). \( K \) este centrul cercului inscris in triunghiul \( ACD \). Se stie ca masura unghiului \( \angle{BEK} \) este de \( 45^{\circ} \). Determinati toate masurile posibile ale unghiului \( \angle{BAC} \).

[Beniamin Bogosel]

Problema e destul de simpla daca se face o constructie ajutatoare, sugerata, intr-un fel de ipoteza cu unghiul de 45 grade. Construim simetricul \( X \) al lui \( D \) fata de bisectoarea unghiului \( B \). Evident \( X \in AB \). Acum exista doua cazuri:
\( X=E \). caz in care triunghiul este echilateral.
\( X,E,K,I \) sunt conciclice (\( I \) este centrul cercului inscris in triunghiul mare) ceea ce implica faptul ca triunghiul nostru este dreptunghic isoscel.
Mai ramane de aratat ca aceste configuratii verifica ipotezele, ceea ce nu este greu.


Trebuie corectat enuntul: D si E sunt picioarele bisectoarelor, nu inaltimilor.