Grigore Moisil 2005-Integrale si puteri

[Theodor Munteanu]

Determinati functiile continue \( f:[1,\infty ) \to R \) cu proprietatea ca \(
\int\limits_1^x {f(t)dt = \int\limits_{x^k }^{x^{k + 1} } {f(t)dt,\forall k \in N,\forall x \in [1,\infty )} } \)

[Marius Mainea]

Se ia k=1, se deriveaza, se obtine \( f(x)=xf(x^2) \) si apoi \( f(x)=\frac{f(0)}{x} \).

[Theodor Munteanu]

Simplu si eficient.

Acum \( f(x) = xf(x^2 ) \). Notam \( g(x) = xf(x) \) si obtinem \( g(x^2 ) = g(x) \Rightarrow g(x) = g(\sqrt[{2^n }]{x}) \Rightarrow g(x) = g(1) = f(1) = a. \)
Deci \( f(x) = \frac{a}{x} \) si de aici se mai demonstreaza ca \( a=0 \).

[Laurentiu Tucaa]

si de aici se mai demonstreaza ca \( a=0 \).

\( a \) poate sa fie orice numar real, deoarece \( a\int_{1}^x \frac{1}{t} dt=a\int_{x^k}^{x^{k+1}} \frac{1}{t} dt <=> \ln x=\ln x^{k+1}-\ln x^k \) care este evident adevarata.