Grigore Moisil 2004
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Theodor Munteanu
- Pitagora
- Posts: 98
- Joined: Tue May 06, 2008 5:46 pm
- Location: Sighetu Marmatiei
Grigore Moisil 2004
Fie \( f:[0,2]\to R \) o functie de doua ori derivabila astfel incat derivata a doua e nenula, \( \forall x \in [0,2] \). Aratati ca \( \frac{1}{2}\int_0^2 {f(x)dx \ne f(1)} \).
Last edited by Theodor Munteanu on Mon Sep 21, 2009 6:26 am, edited 1 time in total.
La inceput a fost numarul. El este stapanul universului.
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
Cred ca derivata a doua nu se anuleaza pe [0,2].
In acest caz rezulta ca derivata a doua este ori pozitiva ori negativa, iar de aici \( f^{\prime} s.c. \) sau \( f^{\prime}s.d. \) Analizez primul caz, celalalt fiind analog. Fie\( g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R},g(x)=\int_0^x f(t)dt-xf(\frac{x}{2}) \). Se observa ca \( g(0)=0 \) si \( g^{\prime}(x)=f(x)-f(\frac{x}{2})-\frac{x}{2}f^{\prime}(\frac{x}{2})>0 \) (din aplicarea teoremei Lagrange pe (x/2,x)). S-a obtinut \( g\ s.c. \), adica \( g(2)>g(0) \), ceea ce implica concluzia.
In acest caz rezulta ca derivata a doua este ori pozitiva ori negativa, iar de aici \( f^{\prime} s.c. \) sau \( f^{\prime}s.d. \) Analizez primul caz, celalalt fiind analog. Fie\( g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R},g(x)=\int_0^x f(t)dt-xf(\frac{x}{2}) \). Se observa ca \( g(0)=0 \) si \( g^{\prime}(x)=f(x)-f(\frac{x}{2})-\frac{x}{2}f^{\prime}(\frac{x}{2})>0 \) (din aplicarea teoremei Lagrange pe (x/2,x)). S-a obtinut \( g\ s.c. \), adica \( g(2)>g(0) \), ceea ce implica concluzia.