Surjectivitatea unei functii

[alex2008]

Fie \( A \) o multime finita cu cel putin doua elemente si \( f:A\rightarrow A \) o functie astfel ca \( |f(x)-f(y)|<|x-y| \), oricare ar fi \( x,y\in A,\ x\neq y \). Demonstrati ca \( f \) nu e surjectiva.

[Beniamin Bogosel]

Daca presupunem ca \( f \) este surjectiva, atunci exista \( x,y \) astfel incat \( f(x)=M, f(y)=m \), cea mai mare si cea mai mica valoare din \( A \). \( f \) surjectiva si \( A \) finita, implica \( f \) injectiva, deci \( x\neq y \). Asta implica \( | M-m| < |x-y| \), ceea ce e o contradictie.

[Marius Mainea]

Vezi si aici.