Concursul judetean de matematica "Cezar Ivanescu"

[Andi Brojbeanu]

Problema 1
Determinati numerele naturale \( n \) astfel incat
\( \{\frac{n^2+2}{4}\}=\{\frac{n^2+n+1}{6}\} \)(\( \{x\} \) desemneaza partea fractionara a numarului \( x \)).

Problema 2
a) Fie \( a, n\ge 2 \) numere naturale si definim \( N=a+a^2+...+a^n \). Demonstrati ca daca \( N+1 \) este numar prim, atunci \( n+1 \) este numar prim.
b) In cazul \( a=2 \), dati exemplu de un numar natural \( n \) astfel incat \( n+1 \) este numar prim, insa \( N+1 \) nu este numar prim.

Problema 3
Se considera triunghiul \(
ABC \) dreptunghic in \( A \), bisectoarea \( CD \), \( D\in (AB) \) a unghiului \( C \) si \( DE\perp BC, E\in (BC) \). In punctul \( E \) se ridica o perpendiculara \( ME \) pe planul triunghiului \( ABC \). Aflati unghiul dintre planele \( (MAE) \) si \( (MDC) \).