Concursul Arhimede, 16 ianuarie 2010

[enescu]

Fie \( n\in \mathbb{N},n\ge2 \) şi \( x\in\mathbb{R} \) astfel încât \( x+x^n \) şi \( x+x^{n+1} \) sunt numere raţionale. Să se arate că \( x \) este număr raţional.

[Marius Mainea]

Notand \( x+x^n=a\in\mathbb{Q} \) si \( x+x^{n+1}=b\in\mathbb{Q} \) obtinem \( x^2-(a+1)x+b=0 \), deci x este una din radacinile acestei ecuatii \( x_{1,2}=\frac{a+1\pm\sqrt{(a+1)^2-4b}}{2a} \), sa zicem \( x_1 \).

Presupunand prin absurd ca \( \sqrt{\Delta}\notin\mathbb{Q} \), atunci \( x_1+x_1^n=a \) si \( x_1+x_1^{n+1}=b \) si prin conjugare \( x_2+x_2^n=a \) si \( x_2+x_2^{n+1}=b \).

Am obtinut o contradictie intrucat pentru numarul dintre n si n+1 care este impar, sa zicem n, functia \( f(t)=t+t^n \) este strict crescatoare, deci injectiva.

[enescu]

prin conjugare

OK, asta e si solutia oficiala, dar de unde stie un elev de clasa a 9-a chestia asta? acum se face in clasa a 12-a
Am o solutie la nivelul clasei a 9-a, dar e destul de complicata (arat prin inductie ca \( x^k=a_k x+b_k \), cu \( a_k,b_k \) rationali, etc...)