Concursul "Unirea", 2010, pb 4 (easy)

[Laurentiu Tucaa]

Fie \( f:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R} \) o functie continua a.i. \( \|f(x)\|\le \frac{1}{x^2+1} \) si F o primitiva a sa. Sa se arate ca exista si este finita \( \lim_{x\to\infty} F(x) \).

[Marius Mainea]

\( F(x)-\arctan x \) este descrescatoare deci are limita la \( +\infty \).

Deasemenea \( -\arctan x+F(0)\le F(x)\le \arctan x+F(0) \) deci limita e si finita.

[Theodor Munteanu]

Lema:Daca a)\( {{\rm lim}}\limits_{{\rm x} \to \infty } g(x) \) exista si e finita;b)\( {\rm |}f(x) - f(y)| \le |g(x) - g(y)|,\forall x,y > M \)
Atunci \( {{\rm lim}}\limits_{{\rm x} \to \infty } f(x) \) exista si este finita.
Integram inegalitatea pe un [a,b] oarecare folosim inegalitatea modulului pentru integrale si lema si problema e gata.