Primitiva si functia intr-o ecuatie functionala

[Cezar Lupu]

Determinati functiile \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) pentru care

\( x-F(x)=(1+x^{2})(f(x)-1) \) unde \( F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) este o primitiva a lui \( f \).

Cezar Lupu, R.M.I. C-ta, 2004

[Marius Mainea]

Notam \( g(x)=f(x)-1 \) si \( G \) primitiva lui \( g \) si din relatia data

\( G(x)+(1+x^2)g(x)=0 \) sau \( (e^{\arctan x}G(x))^{\prime}=0 \).

Deci \( G(x)=ke^{-\arctan x} \) adica

\( f(x)=1-k\frac{e^{-\arctan x}}{1+x^2} \), \( k\in\mathbb{R} \).