ONM 2010 Iasi Problema 3

[Andi Brojbeanu]

Consideram piramida patrulatera regulata \( VABCD \). Pe dreapta \( AC \) exista un punct \( M \) astfel incat \( VM=MB \) si \( (VMB)\perp(VAB) \). Aratati ca \( 4AM=3AC \).

[salazar]

Fie \( P \) mijlocul laturii \( VB \).
\( \triangle{VMB} \) isoscel \( \Longrightarrow MP\perp VB \).
\( (VMB)\perp(VAB);
(VMB)\cap (VAB)=VB; MP\perp VB \Longrightarrow MP\perp (VAB)\Longrightarrow MP\perp AP \).
Acum folosind teorema medianei in \( \triangle VAB \), teorema lui Pitagora in \( \triangle MBP \) si \( \triangle APM \) si teorema cosinusului in \( \triangle AMB \) vom obtine relatia ceruta.