ONM 2010 Iasi Problema 4

Andi Brojbeanu · Post by **Andi Brojbeanu** » Mon Apr 12, 2010 11:37 pm

Fie \( a, b, c, d \) numere naturale nenule si \( p=a+b+c+d \). Stiind ca \( p \) este un numar prim, aratati ca \( p \) nu divide \( ab-cd \).

Andi Brojbeanu · Post by **Andi Brojbeanu** » Fri May 21, 2010 10:41 pm

\( p|a+b+c+d\Rightarrow p|a(a+b+c+d)=a^2+ab+ac+ad\Rightarrow p|a^2+ab+ac+ad-ab+cd=a^2+ac+ad+cd=(a+d)(a+c) \).
Cum p este prim, rezulta ca \( p|a+c \) sau \( p|a+d \), deci \( a+b+c+d<a+c \) sau \( a+b+c+d<a+d \), imposibil deoarece \( a, b, c, d \) sunt numere naturale nenule.