OJM 2010 Problema III

[Andi Brojbeanu]

Se considera cubul \( ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} \). Bisectooarele unghiurilor \( \angle{A^{\prime}C^{\prime}A} \) si \( \angle{A^{\prime}AC^{\prime}} \) intersecteaza \( AA^{\prime} \) si \( A^{\prime}C^{\prime} \) in punctele \( P \), respectiv \( S \). Punctul \( M \) este piciorul perpendicularei din \( A^{\prime} \) pe \( C^{\prime}P \), iar \( N \) este piciorul perependicualreidin \( A^{\prime} \) pe \( AS \). Punctul \( O \) este centrul fetei \( ABB^{\prime}A^{\prime} \).
(i) Demonstrati ca planele \( (MNO) \) si \( (AC^{\prime}B) \) sunt paralele.
(ii) Calculati distanata dintre planele \( (MNO) \) si \( (AC^{\prime}B) \) stiind ca \( AB=1 \).
Petre Simion, Bucuresti