IMAC Seniori 15 mai 2010 Ziua 1 Subiectul 1

[Andi Brojbeanu]

Fie \( 3n (n\ge 1) \) puncte in plan, oricare trei necoliniare. Sa se arate ca multimea acestor puncte formeaza varfurile a \( n \) perechi de triunghiuri disjuncte.
SPANIA

[Beniamin Bogosel]

Nu sunt 100% sigur, dar poate ca merge un argument de genul urmator.

cele \( 3n \) puncte pot fi impartite in \( n \) triplete in mai multe moduri, oricum, un numar finit de moduri. Consideram acea alegere pentru care suma ariilor este minima.


Metoda a 2-a (sigura)

Consideram o dreapta care lasa toate punctele in acelasi semiplan, si nu este paralela cu nici unul dintre segmentele determinate de 2 puncte dintre cele \( 3n \). Apoi mutam dreapta paralel cu ea insasi pana cand aceasta intalneste puncte. Din alegerea directiei, dreapta va trece peste cel mult un punct o data.

Procedam in felul urmator: mutam dreapta pana trece peste 3 puncte. Desenam triunghiul determinat de cele 3 puncte, si "marcam permanent" pozitia dreptei. Apoi o mutam mai departe peste alte 3 puncte si desenam triunghiul, si marcam pozitia dreptei. Continuam asa pana am trecut peste toate punctele. Acum avem \( n \) triunghiuri separate de drepte paralele, prin urmare acestea sunt disjuncte.

[Antonache Emanuel]

Fie \( 3n (n\ge 1) \) puncte in plan, oricare trei necoliniare. Sa se arate ca multimea acestor puncte formeaza varfurile a \( n \) perechi de triunghiuri disjuncte.
SPANIA

Am intrebat acolo si am aflat ca de fapt a fost o greseala de traducere a enuntului, erau de fapt n triunghiuri disjuncte, sau ceva de genul.