Proiectii

[Liviu Paunescu]

Fie \( H \) un spatiu Hilbert si \( e,f\in B(H) \) doua proiectii (un operator \( p \) este proiectie daca \( p=p^*=p^2 \). O proiectie se poate identifica cu imaginea sa adica cu subspatiu din \( H \) pe care proiecteaza. Notam cu \( e\wedge f \) proiectia pe intersectia celor 2 subspatii. \( e\wedge f \) este cea mai mare proiectie pentru care \( e\cdot e\wedge f=e\wedge f\cdot f=e\wedge f \).

Aratati ca \( (ef)^n\to e\wedge f \), convergenta fiind in topologia tare operatoriala. Gasiti un exemplu in care convergenta nu este normica.

[Consonant]

Se considera sirurile de operatori pozitivi \( a_n=(ef)^ne=e(fe)^n \) si, respectiv, \( b_n=(fe)^nf=f(ef)^n \), si se demonstreaza prin inductie ca sunt descrescatoare si marginite in jos de \( e\wedge f \). Rezulta ca exista \( a \) si respectiv \( b \) operatori pozitivi, limitele tare operatorial ale acestor siruri. Deoarece \( a_na_m=a_{n+m} \), trecand la limita succesiv cu \( n\rightarrow\infty \) si apoi cu \( m\rightarrow\infty \), rezulta ca \( a \) este proiectie (ortogonala). Analog demonstram ca operatorul \( b \) este proiectie. Deoarece \( e\wedge f\leq a\leq efe\leq e \) rezulta usor ca \( a=e\wedge f \) si analog \( b=e\wedge f \). De aici rezulta imediat ca \( (ef)^n=eb_{n-1} \) converge tare operatorial la \( e(e\wedge f)=e\wedge f \) si analog pentru \( (fe)^n \).

Ultima parte a intrebarii: un exemplu de proiectii ortogonale pentru care sirul \( (ef)^n \) nu converge uniform. Pe spatiul \( \mathbb{C}^2 \) se considera proiectia ortogonala \( p \) pe prima componenta, iar pentru \( 0<r<1 \) fie \( p_r \) proiectia ortogonala pe o axa care face cu a doua componenta un unghi de sinus \( r \) (sper ca este clar ceea ce spun, trebuie facute niste calcule simple pentru a scrie explicit proiectia \( p_r \)). Se considera \( H=\ell_2\otimes \mathbb{C}^2 \) si proiectiile ortogonale \( e \) si \( f \) in \( H \) obtinute astfel: \( e \) se defineste ca sumarea (copiilor) lui \( p \), iar \( f \) se defineste ca sumarea un sir \( q_n \), unde \( q_n=p_{r_n} \) cu \( r_n\searrow 0 \). Se demonstreaza ca \( e\wedge f=0 \) si \( ||(ef)^k||=1 \) pentru orice \( k \) numar natural.

[Liviu Paunescu]

Da, o solutie frumoasa cu mijloace oarecum elementare. Mie mi-a placut si solutia unui coleg de aici (folosind calcul functional) in vremea cand ma obseda exercitiul asta, intuitiv foarte simplu:

\( (ef)^n=(efe)^{n-1}f \), iar \( efe \) este un operator pozitiv de norma cel mult unu. Cum functiile \( x\to x^n \) converg punctual la functia caracteristica a lui \( 1 \) atunci \( (efe)^n\to\chi_{1}(efe) \) convergenta fiind in topologia tare. Acum \( \chi_{1}(efe) \) este proiectia pe vectorii proprii corespunzatori valorii \( 1 \) si asta se vede usor ca este exact \( e\wedge f \). Acum \( (ef)^n\to (e\wedge f)f=e\wedge f \).

[Alexandru Chirvasitu]

Aratati ca \( (ef)^n\to e\wedge f \), convergenta fiind in topologia tare operatoriala. Gasiti un exemplu in care convergenta nu este normica.

Cred ca se pot gasi chiar toate contraexemplele:

Sa se caracterizeze perechile de subspatii (inchise) \( E,F \) ale lui \( H \) cu proprietatea ca daca \( e,f \) sunt proiectiile pe \( E \) si respectiv \( F \), atunci \( (ef)^n \) tinde la \( e\wedge f \) uniform.

[Consonant]

Numarul \( 1 \) sa fie punct izolat in spectrul operatorului \( ef \), echivalent in spectrul operatorului \( fe \), echivalent in spectrul operatorului \( efe \), etc.

[Liviu Paunescu]

Frumoasa problema propusa de grobber ! Eu ma gandeam sa vad daca se poate ceva de genul \( (\xi|\eta)<1-\varepsilon \) pentru orice \( \xi\in eH \) si \( \eta\in fH \), adica cele doua hiperspatii formeaza un "unghi" (am considerat \( e\wedge f=0 \)).

Urmand linia propusa de Consonant e o propozitie de genul: \( xH \) e inchis daca si numai daca \( 0 \) este punct izolat in spectrul lui \( |x| \).
Deci \( 1 \) e punct izolat in spectrul lui \( efe \) daca si numai daca operatorul \( 1-efe \) are imaginea inchisa. Nu stiu daca ajuta asta prea mult.

[Alexandru Chirvasitu]

Numarul \( 1 \) sa fie punct izolat in spectrul operatorului \( ef \), echivalent in spectrul operatorului \( fe \), echivalent in spectrul operatorului \( efe \), etc.

Adica asta e conditia pentru ca \( (ef)^n \) sa tinda la \( e\wedge f \) uniform? Nu prea cred. Ce se intampla de exemplu daca \( f=1-e \)? Atunci \( ef=0 \), si \( 1 \) nici macar nu e in spectru. Nu e asta conditia nici pentru negatie, ca atunci \( 1 \) o sa fie in spectru, dar nu e necesar sa fie izolat.


Oricum, desi formularea "sa se caracterizeze.." e destul de vaga si nu e deloc riguroasa, ma gandeam la o conditie necesara si suficienta care sa spuna ceva intuitiv, din punct de vedere geometric. De asta am si formulat problema relativ la spatiile \( E \) si \( F \). Ca sa nu mai existe ambiguitati, uite la ce ma gandeam:

Cu aceleasi notatii ca in mesajul meu anterior, \( (ef)^n\to e\wedge f \) uniform daca si numai daca suma \( E+F \) este subspatiu inchis in \( H \).

Liviu a intuit bine, si de fapt conditia formulata de el e echivalenta cu faptul ca spatiul liniar \( E+F \) e inchis (ca si el, am presupus \( E\cap F=0 \); asta nu restrange generalitatea).

[Consonant]

Scuze, am fost si eu "vag": 1 sa nu fie punct de acumulare in spectru. Rezulta destul de simplu din calcul functional, pe ideea expusa de Liviu, considerand functia \( \lambda^n \) pe intervalul \( [0,1] \), care nu converge uniform pe spectrul operatorului pozitiv si contractiv daca si numai daca 1 este punct de acumulare in spectru. Promit sa revin cu amanunte daca mai este cazul.

Este insa posibil ca Grobber sa fi avut altceva in minte atunci cand a cerut "conditia necesara si suficienta"; eu m-am gandit la o caracterizare spectrala.

[Liviu Paunescu]

Am nevoie de confirmarea urmatorului lucru: daca functiile \( f_n \) continue, converg punctual la functia \( f \) si operatorii \( f_n(x) \) converg in norma la \( f(x) \) atunci convergenta functiilor este in topologia data de norma supremum. Avem nevoie de aceasta propozitie pentru descrierea spectrala a problemei propuse de grobber.

[Consonant]

Raspunsul la intrebarea lui Liviu se gaseste in teoria Gelfand pentru cazul C*-algebrelor comutative si unitale. Daca \( x \) este un operator normal pe un spatiu Hilbert \( H \), fie \( \mathcal{A} \) C*-algebra generata de \( x \) si operatorul identitate. Din teoria Gelfand, \( \mathcal{A} \) se identifica *-izomorf si izometric cu \( C(\sigma(x)) \), C*-algebra functiilor continue pe spectrul lui \( x \). Din aceasta perspectiva, calculul functional cu functii continue pe spectrul lui \( x \) este exact inversul acestui *-izomorfism izometric.