Orice spatiu prehilbertian are o baza ortonormala
Moderator: Liviu Paunescu
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Orice spatiu prehilbertian are o baza ortonormala
Sa se demonstreze ca orice spatiu prehilbertian are o baza ortonormala.
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
Cred ca intrebarea lui Cezar era: fiind dat un spatiu prehilbertian \( X \), este adevarat ca un sistem ortonormal maximal \( \{e_i\}_{i\in\mathcal{J} \) are proprietatea ca pentru orice element \( x\in X \) avem \( x=\sum\limits_{i\in\mathcal{J}} \langle x,e_i\rangle x \), in sensul de convergenta tare a "sumei" (aici definitia trebuie data cu atentie, fiindca este altfel decat la serii)?
Daca spatiul prehilbertian \( X \) are o baza Hamel (algebrica) numarabila, atunci intrebarea lui Cezar are un raspuns afirmativ simplu si constructiv: urmand inductia si procedeul Gram-Schmidt. Altfel, eu vad intrebarea ceva mai delicata decat aplicarea lemei lui Zorn.
Daca spatiul prehilbertian \( X \) are o baza Hamel (algebrica) numarabila, atunci intrebarea lui Cezar are un raspuns afirmativ simplu si constructiv: urmand inductia si procedeul Gram-Schmidt. Altfel, eu vad intrebarea ceva mai delicata decat aplicarea lemei lui Zorn.
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.
a) Bază ortonormala asta înseamnă: sistem ortonormal maximal.Consonant wrote: Daca spatiul prehilbertian \( X \) are o baza Hamel (algebrica) numarabila, atunci intrebarea lui Cezar are un raspuns afirmativ simplu si constructiv: urmand inductia si procedeul Gram-Schmidt. Altfel, eu vad intrebarea ceva mai delicata decat aplicarea lemei lui Zorn.
b) Dacă ne referim la scrierea oricărui element ca "serie" Fourier (în sensul familiilor sumabile), acest fapt nu mai are loc dacă spaţiul nu este Hilbert.
c) Un spaţiu Banach (deci cu atât mai puţin Hilbert) nu poate avea bază Hamel numărabilă (rezultă din teorema lui Baire). Răspunsul constructiv bazat pe construcţia Hilbert-Schmidt are loc numai în cazul spaţiilor Hilbert separabile.
Ideea de "baza" inseamna conjugarea a doua calitati: liniar independenta (pe care o avem automat din cauza ortonormalitatii) si aceea de a putea "reprezenta" orice element al spatiului in functie de elementele bazei. In functie de ce inseamna "reprezentare" se obtin diverse definitii. Ori, definitia "sistem maximal ortonormal" are probleme cu a doua calitate exact in cazul in care spatiul prehilbertian nu mai este complet. Bineinteles ca poti sa iei definitia pe care o preferi tu, dar asta poate face o diferenta majora intre enunturile obtinute. Din cauza asta este bine sa fie precizate definitiile. Altfel, vorbim despre lucruri diferite si patim ca filozofii.a) Bază ortonormala asta înseamnă: sistem ortonormal maximal.
Tocmai aici sper (depinzand de definitia subinteleasa si, din pacate, neprecizata) ca era intrebarea lui Cezar: da un exemplu de spatiu prehilbertian care nu are baza ortonormala (in sensul definitiei precizate de mine).b) Dacă ne referim la scrierea oricărui element ca "serie" Fourier (în sensul familiilor sumabile), acest fapt nu mai are loc dacă spaţiul nu este Hilbert.
Nu este vorba despre spatii complete! Altfel, ai dreptate, afirmatia asta se face (sper) inca la cursul de analiza functionala. Insa sunt o multime de spatii prehilbertiene cu baze Hamel numarabile! Si tocmai de aici vine "dificultatatea" contraexemplului, cand nu mai ai baza Hamel numarabila si, daca vrei sa urmezi calea cu aplicarea lemei lui Zorn, ai o dificulatate care apare din "gap"-ul dintre cele doua definitii.c) Un spaţiu Banach (deci cu atât mai puţin Hilbert) nu poate avea bază Hamel numărabilă (rezultă din teorema lui Baire).
Banuiesc ca ai vrut sa spui Gram-Schmidt, insa eu am spus altceva. Spatiul Hilbert (banuiesc ca te referi la completarea spatiului prehilbertian) poate fi separabil, si totusi problema este de a construi "baza" (cu definitia mea) cu elemente doar in spatiul prehilbertian. Faptul ca spatiul prehilbertian are o baza Hamel numarabila este o ipoteza destul de tare, iar procedeul Gram-Schmidt rezolva problema in sens afirmativ doar in cazul acesta.Răspunsul constructiv bazat pe construcţia Hilbert-Schmidt are loc numai în cazul spaţiilor Hilbert separabile.
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.
Incerc sa fac o sinteza a discutiilor anterioare, cu demonstratii si, in acelasi timp, precizez definitiile pentru a elimina ambiguitatile. Pentru claritate (sper ca aceasta sa fie utila cat mai multora), includ si consideratii elementare, dar anumite detalii sunt lasate pe seama cititorului.
Definitie: Fiind dat un spatiu prehilbertian \( X \), o baza ortonormala \( B \) a lui \( X \) este o submultime ortonormala si totala in \( X \).
Din motive de reprezentari Fourier, \( B \) este baza ortonormala a spatiului prehilbertian \( X \) daca si numai daca este ortonormala si pentru orice \( x\in X \) avem \( x=\sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b \), cu urmatoarele observatii: suma este de fapt o serie (cel mult o parte numarabila dintre coeficientii Fourier pot fi nenuli, din motiv de inegalitatea Bessel) iar convergenta este neconditionata (schimbarea ordinii de sumare nu are nici un efect) si are loc in topologia tare (normica) a lui \( X. \)
Intr-un spatiu Hilbert, notiunea de baza ortonormala este echivalenta cu aceea de sistem ortonormal maximal (fata de relatia de incluziune): asta rezulta din teorema asupra distantei unui vector in raport cu o multime convexa si inchisa, via teorema de existenta a proiectiilor ortogonale asociate subspatiilor inchise. De aici rezulta, via constructia cunoscuta cu Lema lui Zorn, ca orice spatiu Hilbert are o baza ortonormala.
Problema: Este adevarat ca orice spatiu prehilbertian are o baza ortonormala?
Raspunsul: In general, NU.
Comparand cu ceea ce se intampla in cazul spatiilor Hilbert, raspunsul negativ provine din aceea ca, pentru spatiile prehilbertiene, notiunea de sistem ortonormal maximal nu este echivalenta cu aceea de baza ortonormala.
Pe de alta parte, orice spatiu prehilbertian admite un sistem ortonormal maximal iar toate sistemele ortonormale maximale au acelasi cardinal. Aceasta conduce la notinunea de dimensiune a unui spatiu prehilbertian. Distingem aceasta notiune de aceea de dimensiune Hamel care este sau un numar natural sau simbolul \( \infty \) (dimensiunea Hamel nu poate distinge intre numere cardinale, dar nu mai insist aici).
Contraexemplu. (de la amicul Stan Gudder, 1974) Fie \( E=l_2 \) si \( B \) baza ortonormala canonica a lui \( l_2 \). Fie \( B_1\subset E \) astfel incat \( B\cup B_1 \) este o baza Hamel pentru \( E \) (iarasi, via Lema lui Zorn). Cardinalitatea multimii \( B_1 \) este \( c=2^{\aleph_0} \) (deoarece dimensiunea Hamel a lui \( E \) este \( c \)). Fie \( F \) un spatiu Hilbert de dimensiune \( c \) si \( T: E\rightarrow F \) operator liniar definit astfel: \( B_1 \) este transformat de \( T \) bijectiv pe o baza ortonormala (de cardinal \( c \)) a lui \( F \), iar pentru orice vector \( b\in B \) punem \( Tb=0 \), apoi extins algebric prin liniaritate. Sa observam ca \( T \) are imagine densa in \( F \). Fie \( G=\{e\oplus Te\mid e\in E\} \) graficul lui \( T \) privit ca subspatiu liniar in spatiul Hilbert \( H=E\oplus F \). Este usor de vazut ca \( G \) este dens in \( H \) si dimensiunea lui \( G \) este aceiasi cu dimensiunea lui \( E \). Rezulta urmatoarele:
(1) \( \dim G< \dim H \).
(2) \( G \) nu are nici o baza ortonormala.
(3) Un sistem ortonormal maximal in \( G \) nu este si baza ortonormala.
(4) \( \dim G=\aleph_0 \) dar \( G \) nu este separabil.
Contraexemplul de mai sus lamureste mult mai mult decat aveam nevoie, insa cred ca merita retinut. Pe de alta parte, in contraexemplu completarea Hilbertiana \( H \) a spatiului prehilbertian \( G \) nu este spatiu separabil. Ce se intampla daca impunem si conditia suplimentara ca \( H \) sa fie separabil, din punct de vedere al relatiei dintre sistem ortonormal maximal si baza ortonormala? Raspunsul este iarasi negativ: este posibil, si in acest caz, sa avem un sistem ortonormal maximal care sa nu fie baza ortonormala.
Exemplu: Consideram spatiul Hilbert \( l_2 \) cu baza ortonormala canonica \( \{e_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) si fie \( G \) spatiul liniar generat de vectorii \( f,e_2,e_3,\ldots,e_n,\ldots \), unde \( f=\sum\limits_{n\geq 1} \frac{1}{n}e_n \). Atunci \( B=\{e_2,e_3,\ldots,e_n,\ldots\} \) este sistem ortonormal maximal in \( G \) dar nu este baza ortonormala deoarece \( f \) nu poate fi aproximat normic cu combinatii liniare de vectori din \( B \).
Ma general, are loc urmatorul fapt: Un spatiu prehilbertian \( X \) este complet daca si numai daca orice sistem ortonormal maximal in \( X \) este total in \( X \) (adica, notiunile de sistem ortonormal maximal si baza ortonormala coincid).
Definitie: Fiind dat un spatiu prehilbertian \( X \), o baza ortonormala \( B \) a lui \( X \) este o submultime ortonormala si totala in \( X \).
Din motive de reprezentari Fourier, \( B \) este baza ortonormala a spatiului prehilbertian \( X \) daca si numai daca este ortonormala si pentru orice \( x\in X \) avem \( x=\sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b \), cu urmatoarele observatii: suma este de fapt o serie (cel mult o parte numarabila dintre coeficientii Fourier pot fi nenuli, din motiv de inegalitatea Bessel) iar convergenta este neconditionata (schimbarea ordinii de sumare nu are nici un efect) si are loc in topologia tare (normica) a lui \( X. \)
Intr-un spatiu Hilbert, notiunea de baza ortonormala este echivalenta cu aceea de sistem ortonormal maximal (fata de relatia de incluziune): asta rezulta din teorema asupra distantei unui vector in raport cu o multime convexa si inchisa, via teorema de existenta a proiectiilor ortogonale asociate subspatiilor inchise. De aici rezulta, via constructia cunoscuta cu Lema lui Zorn, ca orice spatiu Hilbert are o baza ortonormala.
Problema: Este adevarat ca orice spatiu prehilbertian are o baza ortonormala?
Raspunsul: In general, NU.
Comparand cu ceea ce se intampla in cazul spatiilor Hilbert, raspunsul negativ provine din aceea ca, pentru spatiile prehilbertiene, notiunea de sistem ortonormal maximal nu este echivalenta cu aceea de baza ortonormala.
Pe de alta parte, orice spatiu prehilbertian admite un sistem ortonormal maximal iar toate sistemele ortonormale maximale au acelasi cardinal. Aceasta conduce la notinunea de dimensiune a unui spatiu prehilbertian. Distingem aceasta notiune de aceea de dimensiune Hamel care este sau un numar natural sau simbolul \( \infty \) (dimensiunea Hamel nu poate distinge intre numere cardinale, dar nu mai insist aici).
Contraexemplu. (de la amicul Stan Gudder, 1974) Fie \( E=l_2 \) si \( B \) baza ortonormala canonica a lui \( l_2 \). Fie \( B_1\subset E \) astfel incat \( B\cup B_1 \) este o baza Hamel pentru \( E \) (iarasi, via Lema lui Zorn). Cardinalitatea multimii \( B_1 \) este \( c=2^{\aleph_0} \) (deoarece dimensiunea Hamel a lui \( E \) este \( c \)). Fie \( F \) un spatiu Hilbert de dimensiune \( c \) si \( T: E\rightarrow F \) operator liniar definit astfel: \( B_1 \) este transformat de \( T \) bijectiv pe o baza ortonormala (de cardinal \( c \)) a lui \( F \), iar pentru orice vector \( b\in B \) punem \( Tb=0 \), apoi extins algebric prin liniaritate. Sa observam ca \( T \) are imagine densa in \( F \). Fie \( G=\{e\oplus Te\mid e\in E\} \) graficul lui \( T \) privit ca subspatiu liniar in spatiul Hilbert \( H=E\oplus F \). Este usor de vazut ca \( G \) este dens in \( H \) si dimensiunea lui \( G \) este aceiasi cu dimensiunea lui \( E \). Rezulta urmatoarele:
(1) \( \dim G< \dim H \).
(2) \( G \) nu are nici o baza ortonormala.
(3) Un sistem ortonormal maximal in \( G \) nu este si baza ortonormala.
(4) \( \dim G=\aleph_0 \) dar \( G \) nu este separabil.
Contraexemplul de mai sus lamureste mult mai mult decat aveam nevoie, insa cred ca merita retinut. Pe de alta parte, in contraexemplu completarea Hilbertiana \( H \) a spatiului prehilbertian \( G \) nu este spatiu separabil. Ce se intampla daca impunem si conditia suplimentara ca \( H \) sa fie separabil, din punct de vedere al relatiei dintre sistem ortonormal maximal si baza ortonormala? Raspunsul este iarasi negativ: este posibil, si in acest caz, sa avem un sistem ortonormal maximal care sa nu fie baza ortonormala.
Exemplu: Consideram spatiul Hilbert \( l_2 \) cu baza ortonormala canonica \( \{e_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) si fie \( G \) spatiul liniar generat de vectorii \( f,e_2,e_3,\ldots,e_n,\ldots \), unde \( f=\sum\limits_{n\geq 1} \frac{1}{n}e_n \). Atunci \( B=\{e_2,e_3,\ldots,e_n,\ldots\} \) este sistem ortonormal maximal in \( G \) dar nu este baza ortonormala deoarece \( f \) nu poate fi aproximat normic cu combinatii liniare de vectori din \( B \).
Ma general, are loc urmatorul fapt: Un spatiu prehilbertian \( X \) este complet daca si numai daca orice sistem ortonormal maximal in \( X \) este total in \( X \) (adica, notiunile de sistem ortonormal maximal si baza ortonormala coincid).
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Mi-a atras atentia partea citata mai sus. Cum adica dimensiunea Hamel nu distinge intre numere cardinale?Consonant wrote:Distingem aceasta notiune de aceea de dimensiune Hamel care este sau un numar natural sau simbolul \( \infty \) (dimensiunea Hamel nu poate distinge intre numere cardinale, dar nu mai insist aici).
Orice doua sisteme liniar independe de generatori ale aceluiasi spatiu vectorial (finit sau infinit dimensional, si peste orice corp) au acelasi cardinal.Poate intelegem lucruri diferite prin dimensiune Hamel? Pentru mine inseamna ceea ce sugereaza paragraful anterior, anume cardinalul unui sistem liniar independent de generatori.
Este corect ce spui: remarca mea era ca n-am vrut sa ma complic cu numere cardinale pentru dimensiunea Hamel si am bagat toate cardinalele infinite in aceiasi oala. Bineinteles ca, atunci cand apar baze Hamel (si tot apar in probleme de acest tip) cardinalul devine important.grobber wrote:Mi-a atras atentia partea citata mai sus. Cum adica dimensiunea Hamel nu distinge intre numere cardinale?Consonant wrote:Distingem aceasta notiune de aceea de dimensiune Hamel care este sau un numar natural sau simbolul \( \infty \) (dimensiunea Hamel nu poate distinge intre numere cardinale, dar nu mai insist aici).
Poate intelegem lucruri diferite prin dimensiune Hamel? Pentru mine inseamna ceea ce sugereaza paragraful anterior, anume cardinalul unui sistem liniar independent de generatori.
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.