Inegalitate geometrica, arie si mediane

[Filip Chindea]

Foarte cunoscuta, dar "ascunde" câteva idei.
Pentru orice \( \triangle ABC \) de arie \( S \), cu \( m_a \) lungimea \( A \)-medianei si celelalte, avem:
\( \frac{1}{m_bm_c} + \frac{1}{m_cm_a} + \frac{1}{m_am_b} \le \frac{\sqrt{3}}{S} \).

[Cezar Lupu]

Pentru orice \( \triangle ABC \) de arie \( S \), cu \( m_a \) lungimea \( A \)-medianei si celelalte, avem:
\( \frac{1}{m_bm_c} + \frac{1}{m_cm_a} + \frac{1}{m_am_b} \le \frac{\sqrt{3}}{S} \).

Solutia 1.

Se stie ca \( S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) (formula lui Heron)
Din inegalitatea \( m_{a}\geq\sqrt{p(p-a)} \) si analoagele, vom obtine ca

\( \frac{1}{m_{a}m_{b}}+\frac{1}{m_{b}m_{c}}+\frac{1}{m_{c}m_{a}}\leq\frac{\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}}{\sqrt{p}\cdot\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}=\frac{\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}}{\sqrt{p}}\cdot\frac{1}{S} \).
Mai departe, din inegalitatea Cauchy-Buniakovski, avem ca
\( \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\leq\sqrt{3(p-a+p-b+p-c)} \), de unde concluzia problemei.

Solutia 2.
Fie \( \alpha \) unghiul format de medianele \( m_{b} \) respectiv \( m_{c} \) ale triunghiul nostru. Sa zicem ca punctele de intersectie cu laturile \( AB \), \( AC \) sunt \( C_{1} \) respectiv \( C_{2} \). Atunci avem \( Aria_{BCB_{1}C_{1}}=\frac{3}{4}S=\frac{m_{b}m_{c}\sin\alpha}{2} \), de unde \( \frac{1}{m_{b}m_{c}}=\frac{2\sin\alpha}{3S} \) plus analoagele. Astfel, inegalitatea pe care o avem de demonstrat se reduce la
\( \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \) cu
\( \alpha+\beta+\gamma=\pi \). Acest lucru rezulta imediat prin aplicarea inegalitatii Jensen functiei concave \( \sin \).

Solutia 3.
Vom reduce inegalitatea in cadrul triunghiului median, astfel:
Este cunoscut faptul ca \( S=4S_{median} \). Astfel, inegalitatea noastra se reduce la
\( \frac{1}{m_{a}m_{b}}+\frac{1}{m_{b}m_{c}}+\frac{1}{m_{c}m_{a}}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4S_{median}} \) care este echivalenta in cele din urma, cu
\( \sin A+\sin B+\sin C\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \), care se solutioneaza ca ma sus folosind concavitatea functiei \( \sin \).