Grup de ord liber de patrate si existenta unui Sylow normal

[bae]

Se stie (si este usor de demonstrat) ca daca un grup G are ordinul pq, cu p, q numere prime, p<q, atunci el are un q-subgrup Sylow normal.

Sa se arate ca este adevarat si cazul general: fie \( p_1< p_2 < \dots < p_t \) numere prime si G un grup de ordin \( p_1p_2\cdots p_t \). Sa se arate ca G are un \( p_t \)-subgrup Sylow normal.

[Dragos Fratila]

O solutie, parca nu prea ortodoxa, cred ca e asa:
Folosim teorema Burnside, Holder, Zassenhaus:

Un grup finit G are toate subgrupurile Sylow ciclice daca si numai daca admite o prezentare de forma:
\( G=<a,b\ |\ a^m=1=b^n,\ b^{-1}ab=a^r> \), \( r^n\equiv 1 \pmod m \), \( m \) impar, \( 0\le r<m \) si \( (m,\ n(r-1))=1. \)

In cazul nostru fie P un subgrup Sylow corespunzator lui \( p_t(=p) \).
Cum \( (m,n)=1 \) avem doua posibilitati:
1. p|m ceea ce inseamna ca un conjugat al lui P este subgrup in <a> ceea ce conduce la faptul ca P este normal.
2. p|n rezulta ca un conjugat al lui P (putem presupune ca e chiar P) este subgrup al lui <b>. Deci \( P=<b^{\frac{n}{p}}>. \)E suficient sa demonstram ca \( ab^{\frac{n}{p}}a^{-1}=b^{\frac{n}{p}} \).
Folosind relatiile din prezentare rezulta ca \( ab^{n/p}=b^{n/p}a^{r^{n/p}} \). Asadar mai ramane sa demonstram ca \( r^{n/p}=1 \) (mod m).
Cum (r-1, m)=1 rezulta ca ordinul lui r modulo m este \( \varphi(m) \) (functia lui Euler). Evident p nu divide \( \varphi(m), \) deci din \( r^n=1 \) (mod m) avem ca \( r^{n/p}=1 \) (mod m) ceea ce incheie demonstratia.

Cred ca am demonstrat chiar ca acest P este central.
Care e solutia dvs? Mai stie cineva vreo solutie, sunt chiar curios, eu n-am reusit sa o fac altfel