Subgrupuri Sylow in produse directe de grupuri

[bae]

Fie \( G_1,\ldots,G_n \) grupuri finite, \( G=G_1\times\cdots\times G_n \) produsul lor direct si p un divizor prim al ordinului lui G. Sa se arate ca un subgrup H al lui G este p-subgrup Sylow daca si numai daca \( H=H_1\times\cdots\times H_n \), unde \( H_i \) este p-subgrup Sylow al lui \( G_i \) sau \( H_i=\{e\} \), i=1,...,n.

[Dragos Fratila]

Este suficient sa dem pentru n=2.
Fie U si V doua grupuri finite. Iei cate un p-Sylow in fiecare grup: sa zicem A si B si atunci AxB va fi neaparat p-Sylow in UxV. Dar cum toate p-Sylow-urile sunt conjugate rezulta ca toate vor fi de forma A'xB' cu A' Sylow in U (un conjugat al lui A) si B' Sylow in V (un conjugat al lui B).