Curbe izomorfe

[Mihai Fulger]

Fie C o curba nesingulara si \( f:C\to C \) un morfism birational. Sa se arate ca f este izomorfism. (Totul se intampla peste un corp algebric inchis.)

[Alexandru Chirvasitu]

Argumentul din alt topic (penultimul paragraf) arată că mulţimea unde nu e definit inversul are codimensiune cel puţin \( 2 \). În cazul defaţă asta înseamnă pur şi simplu că inversul lui \( f \) se poate defini global.

[Mihai Fulger]

Alte demonstratii:

1. Fie g:U\to C o inversa pentru f definita pe un deschis nevid U din C. Cum orice curba nesingulara este proiectiva si orice aplicatie rationala de la o curba intr-un spatiu proiectiv de extinde la un morfism definit peste tot (sau direct din "valuation criterion for properness"), putem presupune ca g este definit pe tot C. Acum fg:C\to C si la fel si gf sunt morfisme C\to C care sunt identitatea restrictionate la U, iar din separare rezulta ca fg si gf sunt identiatatea peste tot.

2. Orice aplicatie rationala f:X\to P, unde X este o varietate si P este un spatiu proiectiv se extinde la un morfism g:Y\to P unde Y este un blow-up al lui X.
In cazul curbelor, blow-up-ul nu face nimic.