Determinati \( a \in \mathbb{R} \) pentru care ecuatia \( \log_{x}(a-\sqrt{a+x})=2 \) admite solutie unica.
OLM Constanta 2008, Prof. Doru Constantin Caragea
Ecuatie logaritmica cu parametru are solutie unica
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Andrei Velicu
- Euclid
- Posts: 27
- Joined: Wed Oct 17, 2007 9:20 am
- Location: Constanta
-
turcas
- Pitagora
- Posts: 83
- Joined: Fri Sep 28, 2007 1:48 pm
- Location: Simleu Silvaniei, jud Salaj
- Contact:
Demonstratia mea are doua parti.
Partea I : " \( x \) unic \( \Rightarrow a \) unic" .
Demonstratia mea pentru partea I nu intra in programa clasei a X-a. Am folosit derivatele.
Partea I
\( \sqrt{a+x} = a - x^2 \Rightarrow x \in (0 ; \sqrt{a}] \).
\( a + x = a^2 - 2ax^2 + x^4 \)
\( x^4 -2ax^2 -x +a^2 -a = 0 \)
Fie \( f \in \mathbb{R}[X] \). Deoarece \( \deg f \) este par, atunci rezulta ca \( f \) are un numar par de radacini complexe.
Daca \( x_0 \) este radacina, atunci si \( \bar{x_0} = x_0 \in \mathbb{R} \) este tot radacina.
Deci \( x_0 \) este radacina dubla.
Daca \( x_0 \) radacina dubla, atunci \( f(x_0) = 0 \) si \( f \prime (x_0) = 0 \).
Mai exact din \( f\prime(x_0) = 0 \Rightarrow a = \frac{4x_0^3-1}{4x_0} \)'. Cum \( x_0 \) este unic rezulta ca si \( a \) este unica.
Mai trebuie sa punem doar conditia de unicitate a lui \( a \), si anume \( \triangle = 0 \) in ecuatia de gradul al II-lea in \( a \). De acolo o sa gasim \( x \) unic.
Partea I : " \( x \) unic \( \Rightarrow a \) unic" .
Demonstratia mea pentru partea I nu intra in programa clasei a X-a. Am folosit derivatele.
Partea I
\( \sqrt{a+x} = a - x^2 \Rightarrow x \in (0 ; \sqrt{a}] \).
\( a + x = a^2 - 2ax^2 + x^4 \)
\( x^4 -2ax^2 -x +a^2 -a = 0 \)
Fie \( f \in \mathbb{R}[X] \). Deoarece \( \deg f \) este par, atunci rezulta ca \( f \) are un numar par de radacini complexe.
Daca \( x_0 \) este radacina, atunci si \( \bar{x_0} = x_0 \in \mathbb{R} \) este tot radacina.
Deci \( x_0 \) este radacina dubla.
Daca \( x_0 \) radacina dubla, atunci \( f(x_0) = 0 \) si \( f \prime (x_0) = 0 \).
Mai exact din \( f\prime(x_0) = 0 \Rightarrow a = \frac{4x_0^3-1}{4x_0} \)'. Cum \( x_0 \) este unic rezulta ca si \( a \) este unica.
Mai trebuie sa punem doar conditia de unicitate a lui \( a \), si anume \( \triangle = 0 \) in ecuatia de gradul al II-lea in \( a \). De acolo o sa gasim \( x \) unic.