Calcul de integrala cu functia exponentiala, sin si cos

[raca]

Sa se calculeze:
\( \int_0^{\pi}e^xsinxcosxsin2xcos2xdx \).

Olimpiada locala Bucuresti, 2008

[aleph]

Problemă standard: se transformă produsul de funcţii trigonometrice în sumă şi se aplică integrarea prin părţi de 2 ori.
Cu Maple se obţine:

> int(exp(x)*sin(x)*cos(x)*sin(2*x)*cos(2*x),x=0..Pi);

\( -{\frac {4}{185}}+{\frac {4}{185}}\,{e^{\pi }} \)

[Kunihiko Chikaya]

\( \int_0^{\pi} e^x\sin x\cos x\sin 2x\cos 2x dx \)

\( =\frac{1}{4}\int_0^{\pi} e^x\sin 2x\sin 4x dx \)

\( =\frac{1}{8}\int_0^{\pi} e^x(\cos 2x-\cos 6x)dx \)

\( =\frac{1}{8}\left[\frac{1}{5}e^x(\cos 2x+2\sin 2x)-\frac{1}{37}e^x(\cos 6x+6\sin 6x)\right]_0^{\pi} \)

\( =\frac{4}{185}(e^{\pi}-1) \)