mateforum.ro

Eu am gasit-o in articolul de aici.

Cred ca este vorba de "lema" ca daca x_i au proprietatea ca x_1^k+x_2^k+\ldots+x_m^k=0 pt orice k natural, atunci x_i=0 (oricare ar fi i), aplicata pt numerele: a_1 \ , \ a_2 \ , \ \ldots \ , \ a_n \ , \ a_1a_2 \ , a_1a_3 \ , \ldots \ , \ a_{n-1}a_n\ , \ \ldots \ , \ a_1a_2\ldots a_n . ( 2...

Nu am inteles argumentul de la final: de ce este suficient sa demonstram ca \( MN,PQ,RS \) concurente?
Am incercat cu kseg, \( H \) cam trebuie sa fie ortocentru dupa desenul meu.

Iese si d)`ul asemanator, duc simetricul unui focar fata de una din tangente, simetricul celuilalt focar fata de cealalta tangenta, si apar doua triunghiuri congruente.

La d) nu prea inteleg enuntul. O sa demonstrez pt elipsa (si pt hiperbola iese analog). Fie deci o elipsa \mathcal{E} de focare A,B , si fie O mijlocul lui [AB] . http://img176.imageshack.us/img176/278/elipse1cl1.th.png a) Daca d este tangenta la elipsa in P , atunci minimul sumei AX+BX , cu X\in d ...

Solutia mea (putin mai complicata pt b): a) Fie E = \{ r >0 \ : \ r^2 \in \mathbb{Q} \} . Verificarea este imediata. b) Construiesc multimea S = \{ r > 0 \ : \ \mbox{oricare ar fi }x\in E\mbox{, este adevarat ca }rx\in E\} . Evident, 1\in S , si daca a\in S, b\in S , atunci ab \in S . Din i), 1/2 \i...

Offtopic : Totusi concursul era adresat studentilor de anul I, si problemele mi s`au parut dragute. Plus ca, intotdeauna, in concurs e mai greu :) Ontopic : Solutia mea foloseste urmatoarea lema : Lema : Fie XYZT un dreptunghi si M \in ZT . Atunci MX+MY \leq ZX+ZY (cu egalitate daca si numai daca M=...

Astazi (31 mai 2008), la Univ. Politehnica, a avut loc Concursul National pentru studenti Traian Lalescu. Aici sunt subiectele de la sectiunea de matematica, anii I si II : Problema 1 - http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=1937 Problema 2 - http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=1938 Problema 3 - http:/...

Fie \Delta multimea plana formata din punctele interioare si laturile unui dreptunghi ABCD de laturi AB=a si BC=b . Se defineste functia f : \Delta \rightarrow \mathbb{R} , prin f(P) = PA+PB+PC+PD . Sa se determine imaginea lui f . Mircea Becheanu, Concursul National Studentesc Traian Lalescu 2008

Fie U \subset \mathbb{R}^2 o submultime deschisa care contine discul unitate inchis D si f : U\rightarrow \mathbb{R} o functie de clasa \mathcal{C}^1 cu proprietatea ca \left| \frac{\partial f}{\partial x}(P) \right| \leq 1 si \left| \frac{\partial f}{\partial y}(P) \right| \leq 1 , \forall P \in D ...

Fie E o submultime nevida a intervalului (0,\infty) care indeplineste conditiile i) x/2 \in E , oricare ar fi x \in E ii) \sqrt{x^2+y^2} \in E , oricare ar fi x,y \in E . Se cer : a) Sa se dea un exemplu de multime E \neq (0,\infty) care indeplineste conditiile i) si ii). b) Sa se arate ca \overline...

Fie matricea \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \). Sa se arate ca \( A \) este nilpotenta daca si numai daca \( \mbox{tr}\, A^k=0 \), oricare ar fi \( k>0 \) natural.

Concursul National Traian Lalescu 2008

Fie \omega un cerc si A un punct exterior. Punctele B,\ C sunt intersectiile celor doua tangente din A cu cercul, P este mijlocul lui [AB] iar M este mijlocul arcului mic \widehat{BC} . Dreapta PM intersecteaza cercul \omega a doua oara in N . Dreptele AC si PM se intersecteaza in Q . Dreptele PC si...

Fie ABCD un patrulater circumscriptibil si I centrul cercului sau inscris astfel incat I \notin AC . Fie E intersectia diagonalelor patrulaterului. Perpendiculara pe BD ce trece prin E intersecteaza dreptele IA,\ IC in P,\ Q respectiv. sa se arate ca PE=EQ . Olimpiada Polonia 2004

omotetia care il duce pe \omega_a in \Gamma are centru A , iar omotetia care il duce pe \omega in \omega_a are centru A_1 , deci compunerea lor (care este omotetie) are centrul pe AA_1 . dar aceasta omotetie este cea care il duce pe \omega in \Gamma , care are un centru fix K (ce nu depinde de alege...

asta a ramas nerezolvata de mult, hai sa postez eu o solutie scurta, tot cu proiectiva :) fie K \in AB \cap CD si L \in AD \cap BC . ma uit intai la cercurile \omega, \mathcal{C}_{ABP}, \mathcal{C}_{CDP} , care daca le luam doua cate doua, au axele radicale CD, AB, PQ , si acestea sunt concurente, d...