mateforum.ro

Concursul se tine la Iasi in weekendul 14-16 mai.

are loc si implicatia inversa :daca A e un domeniu de integritate si p e un numar prim a.i. \( (a+b)^p=a^p+b^p \) pentru orice a,b din A , atunci \( char A=p \)

In interiorul unui patrat consideram cercuri a.i. suma circumferintelor lor e dublul perimetrului patratului.

a)Gasiti numarul minim de astfel de cercuri.

b)Aratati ca exista o infinitate de drepte care intersecteaza cel putin 3 astfel de cercuri.

Fie f_0 :[0,1] \to \mathbb{R} o functie continua.Definim sirul de functii f_n :[0,1] \to \mathbb{R} astfel : f_n(x)=\int_{0}^x f_{n-1}(t)dt pentru orice n \geq 1 . a)Aratati ca seria \sum_{n \geq 1} f_n(x) e convergenta pentru orice x \in [0,1] . b)Gasiti o formula explicita pentru \sum_{n \geq 1}^{...

Fie A si B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) cu \det(B) \neq 0 .Aratati ca exista m \in \mathbb{N} a.i. AB^{-1} = \sum_{k=1}^n N_k^{-1} unde N_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}) si N_i \neq N_j daca i\neq j . (Obs: B^{-1} si N_k^{-1} pot avea elemente din \mathbb{Q} )

Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4

Rezultate

a)Aratati ca pentru orice matrice \( A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \) exista \( B,C \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \) a.i. \( A=B^2+C^2 \).

b) nu exista \( B,C \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \) a.i. \( BC=CB \) si \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=B^2+C^2 \).

Eu am folosit comutativitatea in demonstratie , doar ca nu am mai zis nimic. ab=ba=1 deci a e inversabil cu b inversul sau.Daca inelul nu e comutativ, atunci nu mai stim sigur daca b e inversul lui a si la stanga. Dar in acest caz se poate renunta la comutativitate.Daca iei si functia x \to xa , atu...

\( ax=ay \) echivalent cu \( a(x-y)=0 \), cum a nu e divizor al lui zero rezulta x-y=0.

Pai daca poti demonstra ca un element este inversabil daca si numai daca nu e divizor al lui zero , atunci rezulta si propozitia ta. Asta nu e greu de aratat.Daca un element e inversabil atunci e clar ca nu poate fi divizor al lui zero.Invers, daca plecam cu un element a \in A care nu e divizor al l...

Am inchis acest topic deoarece inca se pot trimite solutii la redactia GM.Va rog sa nu mai postati astfel de probleme.

M am uitat mai bine la demonstratia lui Radu la lema cu suma valorilor proprii si are o hiba. Adica nu cred ca e corecta demonstratia. Acolo unde inmulteste pe total nu prea are voie sa egaleze caci pierde niste x ca vectori proprii intre matricile acelea si deci lema nu e inca demonstrata Demonstr...

Uite aici.

Are loc un rezultat mai general .Uite aici.

Si rezultatul s-a mai postat si pe mateforum aici,dar fara nici o demonstratie.

Poate n-ai redactat-o destul de clar si nu s-au chinuit sa inteleaga, mai ales daca ai demonstrat "altceva" decat ceea ce cerea problema si nu era asa ceva pe barem :lol: .Si mai trebuia avut grija la faptul ca daca elementul neutru al lui G nu e I_n , atunci nu cred ca puteai arata ca gru...

G este parte stabila in raport cu inmultirea matricilor si grup in raport cu aceasta operatie (cel putin asa apare enuntul, chiar daca faptul ca G este grup implica faptul ca este parte stabila). in cazul acesta parte stabila e echivalent cu grup. ( pt ca G e finita ) Daca elementul neutru al grupu...

http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/T ... minoes.pdf


Un articol despre cum se poate construi "o scara" , de lungime infinita (cat de mare vrem noi ) , folosind piese de domino.